Rannsóknir fyrir stærðfræðinga á öllum aldri

Ingólfur Gíslason.

Opin miðja

Við byrjum á stærðfræðispurningu sem ég setti inn á Facebook-hópinn Stærðfræðikennarinn í febrúar 2019.

Verkefnið fann ég á vefsíðunni Open Middle þar sem það er sagt henta nemendum í fyrsta bekk í Bandaríkjunum (sem ætti að vera mjög sambærilegur okkar fyrsta bekk). Þegar og ef verkefnið er lagt fyrir nemendur í fyrsta bekk er fyrst hægt að biðja þá um að nota tölustafina frá 1 til 9, í mesta lagi einu sinni hvern, og raða þeim þannig í reitina að jafnan verði sönn. Það gæti þurft að undirbúa nemendur með því að láta þá meta hvort einhverjar jöfnur eins og 3 + 2 = 4 + 1 séu sannar, það er að segja að beina athygli þeirra að því að jöfnur séu annaðhvort sannar eða ósannar.

Tilgangurinn með verkefninu samkvæmt vefsíðunni er að nemendur auki skilning sinn á jafnaðarmerkinu: að það séu jafnar stærðir sín hvoru megin við merkið og að jöfnur séu annað hvort sannar eða ósannar og að nemendur læri að ákvarða hvort jöfnur með samlagningu og frádrætti séu sannar eða ósannar. Eitt af því sem vefst fyrir nemendum að átta sig á er að jafnaðarmerkið er merki um jöfnuð en ekki boð um að „reikna út“. Þetta er eitt hæfniviðmiðið í sameiginlegu kjarnaviðmiðunum sem gefin eru út í Bandaríkjunum (Common Core Standards Math.Content.1.OA.D.7). Í verkefninu má líka sjá kröfu um algebrulega hugsun því nemendur verða að ímynda sér tóm sæti þar sem geta komið ólíkar tölur. Á algebrumáli má því auðvitað segja að við séum að leita lausna á jöfnunni a = b + c = d + e + f þar sem allir bókstafir tákni ólíkar tölur úr mengi heilla talna frá 1 upp í 9. En það þarf ekki að segja börnum í fyrsta bekk frá því!

Verkefnið er af tegundinni Opin miðja (e. open middle) sem þýðir:

• Byrjunin er „lokuð“ vegna þess að það er ekkert frelsi til að velja hvaða spurningum er svarað.
• Svarið er líka „lokað“ vegna þess að það er einfaldlega rétt eða rangt.
• Miðjan er „opin“ vegna þess að það er hægt að velja mismunandi möguleika.

Verkefnið býður upp á meira en að fá nemendur til að reikna og finna rétt svör. Tilgangurinn með opinni miðju er að sameina bæði reikniæfingar og stærðfræðilega hugsun. Stærðfræðilega hugsun skilgreini ég hér sem hugsun sem er í samhengi og röð, eða nánar tiltekið, hugsun sem er keðja af rökréttum ályktunum út frá stærðfræðilegum eiginleikum hugtaka (þessi skilgreining er byggð á skilgreiningu Hung-Hsi Wu í greininni Assessment for the Common Core Mathematics Standards). Nemandi getur til dæmis hugsað um verkefnið svona:

Greinilega geta tölurnar 1, 2, og 3 ekki verið í sætinu lengst til vinstri af því að þær eru of litlar og ef við hugsum um minnstu mögulegu þriggja talna summuna 1 + 2 + 3 = 6, sjáum við að minnsta hugsanlega talan í sætinu lengst til vinstri er 7. Það þýðir að einu möguleikarnir á tölu í vinstra sætinu eru tölurnar 7, 8 eða 9. Það er líka ljóst að hæsta mögulega talan í þriggja talna summunni er 6 því lægstu tölurnar á móti eru 1 og 2 og 1 + 2 + 6 = 9. Prófum að fá út 9 fyrir stöku töluna. Ég hugsa mér að prófa að nota 1 + 8 fyrir summu tveggja talna og þá vantar mig þrjár tölur til að fá út 9, sem ég finn út með smá prófun að geti verið 2 + 3 + 4 (ég nota talnaskyn mitt til að athuga þessar tölur því þær mega ekki vera of stórar). Svo ein lausnin er 9 = 1 + 8 = 2 + 3 + 4.

Næsta spurning er þá hvort þetta sé eini möguleikinn á lausn og síðan hve margir eru möguleikarnir? Hér er tækifæri fyrir nemendur að átta sig á gagnsemi þess að skrá möguleikana skipulega. Niðurstaðan gæti verið tafla í þessum anda:

Takið eftir því að hér er skipulag á skrásetningunni. Til dæmis eru tölur skráðar í vaxandi röð í hverri summu og í dálki tvö breytist fyrri liðurinn á skipulegan hátt. Þetta hjálpar okkur að sjá hvenær við höfum fundið alla möguleika. Við tökum svo eftir því að 8 er minnsta mögulega summan og þá var aðeins einn möguleiki á að setja saman jöfnur á forminu sem við vildum, en svo voru þrír möguleikar ef summan er 9, og þá hugsum við sem stærðfræðingar: Hvað ef við leyfum summur upp í 10? Eða 11 eða hærri tölur? Einnig er hægt að velta fyrir sér atriðum eins og hvort við eigum að telja möguleika ólíka ef röð liða er ólík (þá væri til dæmis 1 + 8 talin ólík 8 + 1), og þá fást auðvitað aðrar niðurstöður um fjölda möguleika á endanum – sem er áhugaverð og krefjandi spurning fyrir nemendur í fyrsta bekk.

Reiknihugsun í stærðfræðirannsókn

Þegar ég setti verkefnið inn í Facebook-hópinn leið ekki langur tími þar til einn þátttakandi hafði beitt reiknihugsun sinni til að skrifa forrit til að finna lausnirnar. Forritið hans var skrifað í Python forritunarmálinu en ég ímynda mér að hann hafi hugsað sem svo, gróflega:

1. Ég læt tölvuna búa til alla möguleika á að setja inn tölur á bilinu 1 – 9 í sex hólf (breytistærðir).

2. Fyrir hvern einasta möguleika læt ég tölvuna athuga: 

• hvort jöfnurnar séu sannar (fyrsta talan jöfn summu næstu tveggja og jöfn summu næstu þriggja þar á eftir) 
• hvort liðirnir í summunum séu í vaxandi röð (til þess að við teljum hvern möguleika bara einu sinni en ekki oft, við viljum að 1 + 8 sé talinn en ekki 8 + 1).

Ef við færum okkur skrefi nær því að búa til forrit fyrir tölvu getum við sett saman eftirfarandi reiknirit (algóritma): 

1. Ég læt tölvuna prófa alla möguleika á að setja inn tölur á bilinu 1 – 9 í sex breytistærðir sem hér verða nefndar p[0], p[1], … , p[5]. (Það er einfaldara fyrir tölvu að vinna með breytistærðir í númeruðum lista heldur en að nota bókstafina a, b, … , f.) 

2. Fyrir hverja niðurröðun á tölum athuga ég hvort eftirfarandi skilyrði eru uppfyllt: 

• p[0] = p[1] + p[2] og p[0] = p[3] + p[4] + p[5] (athuga hvort jafnan er sönn)
• p[1] < p[2] og p[3] < p[4] og p[4] < p[5] (athuga hvort röðin á liðunum sé vaxandi)
• ef ein tiltekin niðurröðun á tölum uppfyllir bæði skilyrðin þá hef ég fundið lausn
• skrái lausnina.

Hér má svo sjá forritið sjálft, af Facebook spjallinu:

from itertools import permutations

perms = permutations(range(1,10), 6)

for p in perms:

if (p[0] == p[1] + p[2]) and (p[1] + p[2] == p[3]+p[4]+p[5]) and (p[1] < p[2]) and (p[3] < p[4]) and (p[4] < p[5]):

print(‘Lausn: ‘+ str(p[0]) + ‘=’ +str(p[1])+ ‘+’ +str(p[2])+ ‘=’ +str(p[3])+ ‘+’ +str(p[4])+ ‘+’ +str(p[5]))

Til skýringar má nefna að hér hefur forritarinn nýtt sér fall (sem heitir permutations) til að skila lista af öllum umröðunum sex staka úr menginu sem inniheldur tölurnar 1, … , 9. Um önnur atriði við Python forritun og það hvernig permutation fallið virkar verða lesendur að kynna sér á eigin spýtur ef þeir hafa áhuga. Rétt er að taka fram að hægt er að búa til önnur reiknirit sem fara aðrar leiðir við að framleiða möguleikana.

Nýjar niðurstöður í stærðfræði?

Verkefnið sem hér var fyrst kynnt getur staðið eitt og sér sem lítil stærðfræðirannsókn fyrir unga nemendur. Eldri nemendur geta einnig fengist við það með því að beita reiknihugsun og tölvuforritun. En það má líka halda áfram og útvíkka spurninguna (eins og nefnt var í fyrsta hluta greinarinnar). Við getum velt fyrir okkur hvað gerist ef við breytum einhverjum eiginleikum verkefnisins. Ég hef áður lýst þessu ferli við að útvíkka spurningar í greinunum Um verkefnið Vélmenni á talnalínu og Talnamismunur og tugakerfi. Ein útvíkkuð spurning er: hvað ef við takmörkum okkur ekki við tölustafina 1 – 9 heldur spyrjum almennt: hve margar lausnir eru á jöfnunni fyrir tölur á bilinu frá 1 upp í hvaða tölu sem er. Ef við köllum þá tölu n, þá var sýnt í fyrsta hluta greinarinnar að fyrir n = 8 er einn svarmöguleiki og fyrir n = 9 eru fjórir svarmöguleikar, og fyrir n < 8 er enginn svarmöguleiki. Það ætti að vera hægt að styðja við  nemendur í efstu bekkjum grunnskóla sem hafa fengist við reiknihugsun og forritun að kanna þetta mál með forritun.

Verkefni sem við vinnum með nemendum í fyrsta bekk eru sjaldan óleystar spurningar í stærðfræði, spurningar sem enginn hefur áður svarað. En útvíkkaða spurningin okkar er einmitt slík spurning! Eftir viðbrögðin á Facebook setti ég nefnilega saman lítið forrit til þess að kanna hærri tölur (það er að segja að leyfa ekki bara tölurnar 1 – 9 heldur frá 1 upp í hærri tölur en 9). Í ljós kom að runan byrjar svona (frá og með fjölda möguleika að skrifa 8 sem summu af þessu tagi): 1, 4, 10, 20, 36, 60, 93, 141, 200. Þá spurði ég mig líka: skyldi einhver hafa skoðað þetta áður? Ég leit því inn á síðu á netinu sem heldur utan um þekktar heiltölurunur, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS). Þar var rununa ekki að finna! Svo ég sendi hana inn sem tillögu að nýrri runu og eftir nokkrar athugasemdir fékkst hún samþykkt. Hún er núna runa númer 362717 í runusafninu, og er lýst svona:

Fjöldi leiða til að skrifa a + b + c = d + e = f með {a, b, c, d, e, f} sem hlutmengi í [n] af stærð 6 og a < b < c og d < e.

Í þessari skilgreiningu þýðir [n] mengi heilu talnanna frá 0 upp í n. Á síðunni má einnig sjá Python-forrit sem framleiðir rununa sjálfa, en hún byrjar á að telja frá og með n = 0, svo runan byrjar á átta núllum en síðan taka við 1, 4, 10, 20, og svo framvegis.

Opin miðja: einfalt dæmi með möguleikum til útvíkkana

Við höfum hér litið á eitt stærðfræðiverkefni sem sameinar bæði reikning og rannsókn. Reikniæfingin er falin inni í stærri rannsókn, þar sem nemendur þurfa að reikna, prófa og skrá, en reikningurinn þjónar stærra markmiði. Fyrir unga nemendur er krefjandi að reikna út margar summur, að finna fleiri og fleiri ólíka möguleika til að prófa, að skrá möguleikana skipulega og að útskýra hvernig þeir vita að þeir hafi fundið allar lausnir. Fyrir eldri eða lengra komna nemendur má beina athyglinni að skipulegri talningu og reiknihugsun, að láta tölvu finna og telja möguleikana. Það vildi svo til að í þessu verkefni var hægt að bæta talnarunu við safn þekktra talnaruna sem sýnir að stundum er hægt að skapa alveg nýja stærðfræði með því að skoða eiginleika verkefna og breyta þeim.

---