Hlauparinn og lögmál kameldýrsins

Jóhann Örn Sigurjónsson.

Veltið fyrir ykkur eftirfarandi aðstæðum: Maður hleypur á hlaupabretti eftir tveimur hraðastillingum til skiptis í fimm mínútna lotum – í tvær mínútur á hraðanum 7,5 km/klst. og í þrjár mínútur á 9,5 km/klst. Hver er meðalhraði hlauparans í einni lotu?

Ég skal uppljóstra því strax. Ég var hlauparinn og ég velti þessu fyrir mér á meðan ég hljóp. Í grunninn byggir lausn þessa verkefnis á að skilja og beita hugtakinu vegið meðaltal. Ég kem til með að sýna útreikninginn hér á eftir en það er ekki aðalatriðið í mínum huga. Fyrst og fremst vil ég í þessari grein beina sjónum að því hvernig hægt er að nálgast verkefnið á örlítið annan veg, og það sem meira er (og merkilegra, að mér þykir): hvaða lögmál býr þar að baki. Lögmálin leynast gjarnan undir reikningnum ef vel er að gáð.

Þar sem ég var staddur sveittur og hlaupandi á bretti stóð mér ekki annar kostur til boða en að reyna að leysa verkefnið í huganum. En þó ég telji mig sjálfan sæmilega sleipan í hugarreikningi þá fannst mér eins og það hlyti að vera til auðveldari leið til að reikna meðalhraðann en að reikna margfeldi og kvóta þessara tugabrota (og reyndar eru nokkrar leiðir til). Innsæi mitt sagði mér að niðurstaðan yrði sú sama ef ég breytti spurningunni ofurlítið. Í stað þess að spyrja beint „Hver er meðalhraðinn?” þá spyrði ég „Ef 7,5 km/klst. er grunnhraðinn, hverju bætir tímabundni spretthraðinn 9,5 km/klst. við?”. Nýja spurningin kann að vera orðmeiri og kynna til sögunnar hugtök sem þarf aðeins að átta sig á, en hún einfaldar mér hugarreikninginn – eða svo taldi ég mér trú um. 

Þá að útreikningnum. Mismunur hraðastillinganna, þ.e. 9,5 og 7,5, er 2. Þar sem hver lota er í heildina fimm mínútur, þá hugsaði ég sem svo að fyrir hverja mínútu sem sprett er þá eykst meðalhraðinn um 2/5. Þar sem 3 af hverjum 5 mínútum eru á spretthraðanum þá bætir tímabundni spretthraðinn við: $(2 \cdot 3)/5 = 6/5$. Sé það lagt við grunnhraðann 7,5 km/klst. fæst meðalhraði hlauparans: 8,7 km/klst.

Er þá verkefnið leyst og pistlinum lokið? Þar sem ég sat nú í heitum potti að hlaupinu loknu fór ég að hugsa hvað hafi staðið á bakvið þetta innsæi mitt. Gildir þetta ekki almennt? Ef svo er, hlýtur ekki einhvert lögmál að vera að verki á bakvið tjöldin?

Til að svara því þarf ég að rifja upp formúlu fyrir vegið meðaltal. Í því tilfelli þar sem um er að ræða tvær stærðir er formúla fyrir vegið meðaltal ($\bar{x}$), þar sem $w_i$ táknar vigt fyrir sérhverja stærð $x_i$:

Í mínu hlaupadæmi var um að ræða $w_1= 2, x_1= 7,5, w_2= 3, x_2= 9,5.$ Hægt er að sannreyna með innsetningu að út kemur 8,7 (og raunar er það alveg reiknanlegt í huganum, í það minnsta þegar ekki er verið á hlaupum).

Sjáum þá hvort okkur getur lánast að fá út sömu niðurstöðu ef við leiðum okkur út frá innsæis-nálguninni (þessi hluti þurfti að bíða heimkomu með blað og skriffæri við hönd). Ef við látum $x_1$ tákna grunnhraðann, $x_2$ tákna spretthraðann og $w_1$ og $w_2$ vera viðeigandi tímalengdir (vigtir) hvors hraða um sig, þá má tákna útreikninginn sem lýst var að ofan með „hlaupastæðunni”:

Til útskýringar: $(x_2-x_1)$ er mismunur hraðastillinganna (2 í mínu tilfelli), og $\frac{w_2}{w_1+w_2}$ er hlutfallið sem sprett er (3 af hverjum 5 mínútum).

Nú nægja eftirfarandi aðgerðir á þessa stæðu:

• gera liðina samnefnda upp á eitt brotastrik,
• beita dreifireglu í teljaranum,
• hreinsa liðina til. 

Þá blasir kunnugleg niðurstaða við.

Eins og vonast er til, þá eru þessar stæður jafngildar; „hlaupastæðan” (2) er jafngild formúlu vegins meðaltals (1).

Nú vil ég varpa fram lykilspurningu: Hvað ef við hefðum byrjað á formúlu vegins meðaltals og ætlað okkur að leiða út „í hina áttina”? Þá hefðum við leitt út í öfugri röð miðað við það sem fyrir ofan stendur, með það að markmiði að enda með hlaupastæðuna. Strax í fyrsta skrefi hefðum við þá þurft að láta okkur detta eitt snjallræði í hug: að bæði leggja við og draga frá sömu stærðina, þ.e. „blandaða” liðinn í í teljaranum, $x_1w_2$. Með því erum við í raun að leggja við samlagningarhlutleysuna 0.

Þetta snjallræði er öflugt: Hægt er að umrita stæðu $x$ með því að framkvæma aðgerð með hlutleysu.

• Í tilfelli samlagningar er hlutleysan 0 lögð við á forminu $y-y$, þ.e. $x = x + (y-y)$.
• Í tilfelli margföldunar er hlutleysan 1 margfölduð á forminu $\frac{y}{y}$, þ.e. $x = x \cdot \frac{y}{y}$ (þar sem $y \neq 0$).

Þá má nálgast verkefnið með stæðunni $x$, hver sem stæðan $x$ er, út frá öðru sjónarhorni.

Í tilfelli hlaupadæmisins var $x$ formúlan fyrir vegið meðaltal, og $y$ var blandaði liðurinn $x_1w_2$ lagður við ofan á brotastriki, þar sem $x_1w_2$ samanstendur af grunnhraðanum $x_1$ sinnum tímalengd spretthraðans, $w_2$. Eftirleikurinn í útleiðslunni er þá bara þrjú skref:

1. beita dreifireglu til að taka $w_2$ út fyrir sviga og taka $x_1$ út fyrir sviga,
2. skrifa hvorn lið sem tvö aðskilin brot,
3. stytta út svigann með liðnum $x_1$.

Til dæmis kemur það gjarnan við sögu í kennslubókum við útleiðslu lausnarjöfnu fyrir annars stigs margliður. Þá er það í tengslum við að fylla í ferning, vanalega með því að bæði leggja við og draga frá liðinn $\frac{b^2}{4a^2}$, þar sem $a$ og $b$ eru fastar í jöfnunni $ax^2+bx+c=0$. Þrautir í stærðfræðikeppnum eiga það einnig til að láta reyna á sams konar útsjónarsemi.

Einfalt hversdagsverkefni hlaupara, sem reynir af veikum mætti að reikna í huganum samtímis því að hlaupa, leiddi hann hér að snjallræði, eða lögmáli, við að skilja af hverju hans „einfaldari” útreikningur kann að eiga við einhver rök að styðjast. Líkast til hafa margar sannanir farið þessa sömu leið. Einhvert innsæi, jafnvel eftir þrotlausa vinnu við að glíma við verkefni, segir að eitthvað sé trúlegt til að vera jafngilt. Síðan þegar liðir í algebrustæðum styttast út og sýna jafngildið þá skapast þörf til að sýna fram á það „í hina áttina”, til að sýna röklegu samhengi og uppbyggingu stærðfræðinnar sóma. Þá þarf að „búa liðina til upp á nýtt” og lögmál kameldýrsins kemur óbeint til skjalanna. Hvort kameldýrsheitið hafi forsendur til að festa sig í sessi skal ósagt látið. En fyrir mitt leyti eiga öflugar hugmyndir skilið grípandi nafn, hvað sem kann að festast.

---