Auður Lilja Harðardóttir.
Frá leikskóla til grunnskóla
Hvað breytist við skólabyrjun?
Haustið er komið og til okkar streyma börn og ungmenni uppfull af gleði eftir ævintýri sumarsins. Þau hlakka til að hitta alla vini sína aftur og flest eru þau glöð að vera komin aftur í skólann sinn. Með þessum hópi kemur nýr hópur barna sem er að hefja nám í 1. bekk. Við eigum það til að líta á það sem sjálfsagðan hlut að börn færist úr leikskóla yfir í grunnskóla en breytingin er mikil og mismunandi hvernig börn upplifa námið. Eitt barn orðaði upplifun sína af þessum umskiptum á eftirfarandi hátt:
Það er eitthvað svo öðruvísi að vera í skóla en leikskóla. Ég sakna leikskólans. Þar fengum við alltaf að leika okkur og aldrei að læra. Núna þarf að sitja og klára verkefni.
Í þessum einföldu orðum felst mikilvæg áminning til okkar sem kennum yngstu börnunum. Í leikskólanum byggist námið á leik, samskiptum, forvitni, könnun og þeirri náttúrulegu tilhneigingu barna að læra í gegnum reynslu sína af umhverfinu. Við upphaf grunnskólagöngu breytist þetta námsumhverfi hins vegar á skömmum tíma. Skólastarf verður skipulagðara þar sem verkefni verða formlegri, tímarammar skýrari og aukin áhersla verður á að ljúka verkefnum og komast að niðurstöðu.
Í leikskólanum er áherslan fyrst og fremst á ferlið sjálft. Barn fær tíma til að prófa sig áfram, gera mistök, byrja upp á nýtt og kanna hugmyndir án þess að athygli beinist stöðugt að því hvort niðurstaðan er rétt eða röng. Í grunnskólanum verður aftur á móti sýnilegri sú hugmynd að verkefni hafi eitt rétt svar og að árangur felist í því að komast að þeirri niðurstöðu innan ákveðins tímaramma. Vissulega er endurtekning mikilvæg þegar festa á færni í sessi og í slíkum verkefnum getur niðurstaðan oft verið eitt rétt svar. Á meðan börn eru að byggja upp skilning sinn í stærðfræði skiptir þó miklu máli að þau fái að ræða hugsun sína, prófa ólíkar leiðir og sjá að margar leiðir geta legið að réttri niðurstöðu.
Þegar börn upplifa tímapressu og áherslu á rétt svar mjög snemma getur athyglin smám saman færst frá sjálfu hugsunarferlinu yfir í það að forðast mistök. Það er sérstaklega mikilvægt að forðast að þetta gerist í stærðfræðinámi barna. Kvíði gagnvart stærðfræði getur komið fram þegar á fyrstu skólaárunum og tengst lakari árangri strax á þeim aldri (Ramirez o.fl., 2013). Boaler (2016) hefur fært rök fyrir því að slík viðhorf geti fylgt nemendum langt fram eftir skólagöngu og haft áhrif á námsval þeirra. Þegar barn fer að líta á mistök sem merki um að það sé ekki gott í stærðfræði er hætt við að forvitnin og viljinn til að takast á við áskoranir dvíni.
Samhliða þessu er mikilvægt að hafa í huga að börn koma í grunnskólann með fjölbreytta reynslu sem tengist stærðfræðilegri hugsun. Í gegnum leik og daglegt líf hafa þau lært að bera saman magn, flokka hluti, vinna með mynstur, telja, þróa skilning á rými og átta sig smám saman á tengslum milli hluta í umhverfi sínu. Rannsóknir benda til þess að talnaskynjun (e. number sense) á fyrstu árum barns sé sterkur forspárþáttur fyrir áframhaldandi árangri barna í stærðfræði síðar á skólagöngunni. Talnaskynjun er ekki meðfæddur eiginleiki sem börn hafa þegar þau hefja nám í 1. bekk heldur færni sem vex. Börn sem taka góðum framförum á fyrstu skólaárunum verða betur sett en jafnaldrar sem byrjuðu á sama stað en tóku litlum framförum (Jordan o.fl., 2009). Staða barns við upphaf skólagöngu er því ekki dómur heldur upphafspunktur og það sem gerist í kennslustofunni þaðan í frá skiptir raunverulegu máli.
Með þetta í huga snýst vinna kennara ekki fyrst og fremst um hvaða námsefni eigi að fara yfir heldur hvernig við byggjum áfram á þeirri reynslu sem börnin hafa þegar öðlast og hvað fræðin segja okkur um það við hvaða aðstæður börn læra og þrífast best.
Á síðustu árum hafa rannsóknir varpað áhugaverðu ljósi á íslenskt samhengi. Í QUINT-rannsókninni voru kennslustundir teknar upp á myndband í 8. bekk í íslenskum grunnskólum. Niðurstöðurnar benda til þess að íslenskar skólastofur einkennist almennt af sterkum tengslum milli kennara og nemenda og jákvæðu námsumhverfi, en að um leið megi víða auka vitsmunalega áskorun: að skapa fleiri tækifæri fyrir nemendur til að ræða saman, rökstyðja hugsun sína og glíma við verkefni sem krefjast raunverulegrar hugsunar (Jóhann Örn Sigurjónsson og Berglind Gísladóttir, 2025). Þótt þessi rannsókn sé gerð á unglingastigi vekja niðurstöðurnar spurningar sem gætu einnig átt erindi við yngsta stig.
Á fyrstu mánuðum skólagöngunnar er verið að leggja þann grunn sem allt annað stærðfræðinám hvílir á. Sá grunnur byggist hægt en örugglega upp þegar börn fá tíma til að kanna hugmyndir, tengja nýja þekkingu við fyrri reynslu, ræða eigin hugsun og taka virkan þátt í eigin námi. Auðvelt er að meta hraða og rétt/röng svör en það er lengra ferli að meta hvort skilningur í stærðfræði er að aukast. Þess vegna er erfiðara að fást við hann, bæði í kennslu og í mati á því hvernig gengur. Spurningin er þá hvað við vitum í raun um það hvernig skilningur verður til.
Frá reynslu til skilnings
Hvað rannsóknir segja okkur um nám ungra barna
Rannsóknir síðustu áratuga hafa hjálpað okkur að skilja betur hvernig ung börn byggja upp skilning og hvernig nám á sér raunverulega stað. Börn byggja dýpri skilning smám saman í gegnum reynslu, samskipti og virka þátttöku í eigin námi. Þessi sýn hefur verið mótuð af ólíkum fræðimönnum sem nálgast nám frá mismunandi sjónarhornum en eiga það sameiginlegt að undirstrika að skilningur verður ekki einfaldlega til þegar kennari miðlar þekkingu.
Jean Piaget (1952) lagði grunn að þessari hugsun þegar hann sýndi fram á að börn byggja skilning sinn sjálf í gegnum samskipti við umhverfið. Á fyrstu árum grunnskóla er hugsun barna enn að miklu leyti bundin við áþreifanlega reynslu og það sem þau geta séð, snert og unnið með sjálf. Barn getur lært að endurtaka stærðfræðilega jöfnu eins og 5+3=8, en án fyrri reynslu af magni og raunverulegum hlutum getur skilningurinn auðveldlega orðið yfirborðskenndur. Formleg tákn fá merkingu þegar undirliggjandi hugmynd hefur tekið að mótast.
Lev Vygotsky (1978) beindi athyglinni að annarri hlið námsins og lagði áherslu á að nám verði ekki aðeins til í sjálfstæðri hugsun barnsins heldur einnig í samskiptum við aðra. Börn þróa skilning sinn þegar þau fá stuðning við verkefni sem þau ráða ekki alveg við ein og sér en geta unnið með leiðsögn kennara eða í samtali við aðra. Tungumálið gegnir þar lykilhlutverki. Þegar barn útskýrir hugsun sína, hlustar á fyrirmyndir annarra eða fær spurningar sem leiða hugsunina áfram verður samtalið sjálft hluti af náminu.
Jerome Bruner (1966) byggði áfram á þessum hugmyndum og beindi athyglinni að því hvernig skilningur breytir um form eftir því sem hann þróast. Barn byrjar á því að skilja með höndunum. Það raðar, flokkar og færir til hluti og þekkingin býr í athöfninni sjálfri. Smám saman losnar hugmyndin frá hlutunum og barnið getur séð hana fyrir sér án þess að hafa hana fyrir framan sig. Með slíkri reynslu geta formleg tákn smám saman orðið merkingarbær.
Talan 8 er ekki annað en form á blaði fyrr en barnið hefur haldið á átta hlutum, séð þá sem einn hóp og áttað sig á að fjöldinn í hópnum helst átta þótt hlutunum sé raðað öðruvísi. Táknið kemur ekki í stað reynslunnar heldur dregur hana saman.
John Sweller (1988) bætti svo við mikilvægu sjónarhorni þegar hann sýndi fram á að vinnsluminni hefur takmarkaða getu til að vinna úr nýjum upplýsingum. Hjá ungum börnum er þessi geta enn takmarkaðri og hún vex smám saman í gegnum skólagönguna (Gathercole og Alloway, 2008). Ef barn þarf samtímis að glíma við ný hugtök, ný tákn og framandi vinnubrögð getur hugrænt álag (e. cognitive load) orðið það mikið að lítið rými verður eftir fyrir raunverulegan skilning. Þegar kennslan byggir aftur á móti á stigvaxandi uppbyggingu, áþreifanlegri reynslu og skýrum tengingum við fyrri þekkingu minnkar þetta álag og barnið fær meira svigrúm til að einbeita sér að hugsuninni sjálfri.
Þessar kenningar spruttu upp á ólíkum tímum og frá ólíkum fræðilegum sjónarhornum, og þær eru ekki að öllu leyti sammála. Saman má þó lesa úr þeim að skilningur verði til í ferli fremur en í einu skrefi, og að aðstæðurnar sem barnið vinnur í ráði miklu um hvort það ferli gengur. Piaget, Vygotsky og Bruner beina athyglinni að því sem barnið þarf að fá; reynslu, samtal og tíma. Sweller minnir á að því megi ekki fylgja of margt í einu. Það sem við kennum skiptir því ekki eingöngu máli heldur hvernig við sköpum þær aðstæður sem gera skilning mögulegan.
Frá þekkingu til framkvæmdar
Þegar skilningur mótar kennsluna
Þar sem rannsóknir í þroskasálfræði og námsfræðum hjálpa okkur að skilja hvernig ung börn læra vaknar eðlilega næsta spurning. Hvernig á sú þekking að móta kennsluna sjálfa? Á undanförnum árum hafa fjölmargar rannsóknir og samantektir skoðað hvaða kennsluaðferðir styðja best við stærðfræðinám barna á yngsta stigi grunnskóla (Gersten o.fl., 2009; Education Endowment Foundation, 2020). Aðferðirnar eru fjölbreyttar og engin ein þeirra dugar ein og sér. Eitt er þó áberandi í niðurstöðunum: Skilningur byggist smám saman upp og ekki af sjálfu sér; kennarinn þarf að skipuleggja uppbygginguna meðvitað. Hér verður staldrað við þrjár leiðir sem allar byggja á: hlutbundinni vinnu, markvissum leik og samræðum um stærðfræði.
CPA-líkanið: frá hlutbundinni reynslu yfir í tákn
Ein skýrasta birtingarmynd þessarar hugsunar má sjá í svokölluðu CPA-líkani (e. concrete-pictorial-abstact) sem byggir á hugmyndum Bruners (1966). Hugmyndin er einföld en mikilvæg. Í líkaninu vinna börn fyrst með áþreifanlega hluti, tengja síðan sömu hugmynd við myndræna framsetningu og að lokum við formleg stærðfræðileg tákn. Þegar barn vinnur með kubba, talnagrindur eða tíu-ramma er það ekki einfaldlega að undirbúa sig fyrir „alvöru“ stærðfræði síðar meir. Verkleg reynsla er hluti af náminu sjálfu. Rannsóknir benda til þess að þegar kennsla byggir á slíkri stigvaxandi þróun styrkist hugtakaskilningur barna og grunnur þeirra fyrir áframhaldandi stærðfræðinám verður traustari. Áhrifin ráðast þó af því hvernig efniviðurinn er notaður og eru mest þegar kennarinn styður beinlínis tenginguna milli hlutarins og hugmyndarinnar að baki honum (Carbonneau o.fl., 2013).
Leikur með leiðsögn: þegar leikurinn verður hluti af stærðfræðináminu
Við upphaf grunnskólagöngu verður leikurinn oft ósýnilegri og formleg verkefni taka smám saman meira pláss. Rannsóknir benda þó til þess að leikur geti áfram gegnt mikilvægu hlutverki í námi, að því gefnu að hann sé byggður þannig upp að hann beini athygli barnsins að stærðfræðinni sjálfri (Weisberg o.fl., 2013). Skýrt dæmi um það er einfaldur talnaborðsleikur með tölum í beinni línu, sem reyndist bæta talnaskilning leikskólabarna umtalsvert, en aðeins þegar tölur voru á reitunum en ekki litir (Ramani og Siegler, 2008).
Þegar börn vinna með mynstur, kubba, talnaleiki eða hlutverkaleik skapast fjölmörg tækifæri til stærðfræðilegrar hugsunar. Það er þó ekki leikurinn einn og sér sem skapar námið heldur samtal kennarans við börnin, spurningar sem eru lagðar fyrir og sú hugsun sem kennarinn hjálpar barninu að þróa. Leikur er því ekki andstæða skipulagðrar kennslu heldur önnur leið til að skapa aðstæður þar sem stærðfræðiskilningur getur orðið til.
Talnaspjall og orðadæmi: þegar samræður verða hluti af kennslunni
Mikilvægt er að leggja áherslur á samræður í kennslustofunni. Aðferðir eins og talnaspjall (e. number talks) hafa vakið athygli kennara vegna þess að þær færa áhersluna frá því að finna rétt svar yfir í að gera hugsun barnsins sýnilega (Parrish, 2010). Þegar börn útskýra eigin lausnaleiðir, hlusta á hugmyndir annarra og bera saman mismunandi leiðir verður stærðfræðin ekki aðeins röð aðgerða heldur vettvangur fyrir hugsun, samanburð og skilning.
Á sama hátt sýna rannsóknir á orðadæmum að stærðfræðileg hugsun dýpkar þegar verkefnin tengjast aðstæðum sem börn þekkja úr eigin reynslu (Carpenter o.fl., 2014). Börn eru þá ekki eingöngu að vinna með tölur heldur að túlka aðstæður, ræða merkingu og setja eigin hugsun í orð.
Það sem tengir allt saman
Þótt þessar kennsluaðferðir líti ólíkt út á yfirborðinu stefna þær allar í sömu átt. Áríðandi þáttur í góðri kennslu yngstu barna felst ekki eingöngu í fjölbreytni verkefna eða því hversu hratt vinna með námsefnið gengur fyrir sig. Miklu mikilvægara er að skapa aðstæður þar sem barn fær svigrúm til að prófa sig áfram, vinna með hugmyndir á áþreifanlegan hátt, ræða eigin hugsun og tengja nýja þekkingu við fyrri reynslu.
Markmið kennslunnar verður þá ekki einfaldlega að komast yfir námsefni heldur að byggja upp þann stærðfræðiskilning sem allt áframhaldandi nám mun síðar hvíla á. Dýpri skilningur verður fremur til þar sem kennsla skapar rými fyrir samræður, rökstuðning og virka þátttöku. Hvernig við kennum skiptir því ekki síður máli en hvað við kennum.
Eitt þarf þó að hafa í huga þegar talað er um að byggja stærðfræðiskilning hægt upp. Það sem áður var sagt um hugrænt álag mætti auðveldlega lesa þannig að auðveld verkefni séu alltaf betri, en það er misskilningur. Vitsmunaleg áskorun (e. intellectual challenge) og hugrænt álag eru ekki það sama, þótt þau séu skyld. Verkefni sem krefst þess að barn hugsi, beri saman og rökstyðji er krefjandi á þann hátt sem byggir upp skilning. Verkefni sem krefst þess að barn haldi mörgum ókunnum atriðum í huga samtímis er krefjandi á þann hátt sem hindrar hann. Verkefni kennarans er ekki að draga úr áskoruninni heldur að draga úr því sem stendur í vegi fyrir henni. Þar skiptir líka máli hvernig barninu líður, því áhyggjur af því að gera mistök taka sjálfar pláss í vinnsluminni og bitna ekki síst á börnum sem eru að tileinka sér flóknari reikniaðferðir (Ramirez o.fl., 2013).
Eftirfarandi tafla er yfirlit yfir þessar kennsluaðferðir. Hér er ekki spurningin um að velja og hafna heldur að finna jafnvægi og meta hvenær hver aðferð hentar.
Lokaorð
Að taka á móti börnum í 1. bekk er krefjandi en einstaklega gefandi verkefni. Á fyrstu mánuðunum eru börn ekki aðeins að hefja formlegt nám heldur einnig að þróa fyrstu hugmyndir sínar um hvað nám raunverulega er. Þau eru ekki einungis að læra tölur, aðgerðir eða ný hugtök heldur einnig að móta viðhorf sitt til mistaka, áskorana, eigin getu og þess hvernig þekking verður til.
Stærðfræðiskilningur verður sjaldnast til með því einu að börn taki við upplýsingum eða æfi fyrir fram ákveðnar aðferðir. Djúpt stærðfræðinám byggist á reynslu, samtali, virkri þátttöku og þeirri hægu uppbyggingu stærðfræðiskilnings sem á sér stað þegar barn fær svigrúm til að kanna hugmyndir, prófa sig áfram og tengja nýja þekkingu við eigin reynsluheim.
Þetta kallar á mikilvæga ígrundun okkar kennara um það hvernig við skipuleggjum fyrstu ár skólagöngu barna. Kennslufræðilegar ákvarðanir á yngsta stigi snúast ekki eingöngu um það hvaða námsefni við förum yfir heldur einnig um þau skilaboð sem við sendum börnum um námið sjálft. Ef skólastarfið leggur of snemma áherslu á hraða, rétt svör og sýnilegan árangur er hætta á að við þrengjum ósjálfrátt það rými sem börn þurfa til að byggja upp raunverulegan skilning í stærðfræði.
Kannski er stærsta verkefni okkar því ekki aðeins að kenna börnum stærðfræði heldur að skapa aðstæður þar sem þau upplifa stærðfræðinám sem ferli sem byggir á forvitni, hugsun, merkingu og trú á eigin getu. Sú reynsla getur mótað ekki aðeins fyrstu kynni þeirra af stærðfræði heldur samband þeirra við stærðfræðinám langt fram eftir skólagöngunni.
Heimildaskrá
Boaler, J. (2016). Mathematical mindsets: Unleashing students’ potential through creative math, inspiring messages and innovative teaching. Jossey-Bass.
Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Harvard University Press.
Carbonneau, K. J., Marley, S. C. og Selig, J. P. (2013). A meta-analysis of the efficacy of teaching mathematics with concrete manipulatives. Journal of Educational Psychology, 105(2), 380–400.
Carpenter, T. P., Fennema, E., Franke, M. L., Levi, L. og Empson, S. B. (2014). Children’s mathematics: Cognitively guided instruction (2. útgáfa). Heinemann.
Education Endowment Foundation. (2020). Improving mathematics in the early years and key stage 1. Education Endowment Foundation.
Gathercole, S. E. og Alloway, T. P. (2008). Working memory and learning: A practical guide for teachers. Sage.
Gersten, R., Beckmann, S., Clarke, B., Foegen, A., Marsh, L., Star, J. R. og Witzel, B. (2009). Assisting students struggling with mathematics: Response to intervention (RtI) for elementary and middle schools (NCEE 2009-4060). National Center for Education Evaluation and Regional Assistance.
Jordan, N. C., Kaplan, D., Ramineni, C. og Locuniak, M. N. (2009). Early math matters: Kindergarten number competence and later mathematics outcomes. Developmental Psychology, 45(3), 850–867.
Jóhann Örn Sigurjónsson og Berglind Gísladóttir. (2025). Vitsmunaleg áskorun: Að virkja hugsun nemenda. Í Anna Kristín Sigurðardóttir, Hermína Gunnþórsdóttir og Rúnar Sigþórsson (ritstj.), Gæði kennslu: Námstækifæri fyrir alla nemendur (bls. 95–110). Háskólaútgáfan.
Parrish, S. (2010). Number talks: Helping children build mental math and computation strategies. Math Solutions.
Piaget, J. (1952). The child’s conception of number. Routledge & Kegan Paul.
Ramani, G. B. og Siegler, R. S. (2008). Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games. Child Development, 79(2), 375–394.
Ramirez, G., Gunderson, E. A., Levine, S. C. og Beilock, S. L. (2013). Math anxiety, working memory, and math achievement in early elementary school. Journal of Cognition and Development, 14(2), 187–202.
Sweller, J. (1988). Cognitive load during problem solving: Effects on learning. Cognitive Science, 12(2), 257–285.
Vygotsky, L. S. (1978). Mind in society: The development of higher psychological processes. Harvard University Press.
Weisberg, D. S., Hirsh-Pasek, K. og Golinkoff, R. M. (2013). Guided play: Where curricular goals meet a playful pedagogy. Mind, Brain, and Education, 7(2), 104–112.
Auður Lilja Harðardóttir, sérkennari við Lindaskóla