SÖGUHORNIÐ: Þríhyrningur Pascals

Kristín Bjarnadóttir

Björn Bjarnason var stærðfræðikennari minn forðum daga í Menntaskólanum í Reykjavík. Hann kenndi okkur um framandi hluti, sem nú eru mér orðnir inngrónir eftir áratuga göngu í spor hans. Eitt þótti mér skrítið: Dag nokkur fór hann að dunda sér við að leggja saman lágar tölur á töflunni. Ef til vill hefur athygli mín verið fjarri í upphafi en niðurstaðan var þessi:

Þannig hélt hann áfram: Hann byrjaði á einum, 1. Í næstu línu kom 1 og 1. Þar næsta lína byrjaði á 1, svo lagði hann saman tölurnar næst fyrir ofan, 1 + 1, og fékk út 2, og endaði á 1. Mynstrið fór að koma í ljós í næstu línu, 1, 1+2, 2+1, 1, og þannig hélt það áfram.

Svo hló Björn að öllu saman. En ég hugsaði: Hvernig getur hámenntaður stærðfræðingur frá Háskólanum í Kaupmannahöfn (sem í þá daga var Mekka raunvísindamanna) haft gaman að svona nokkru? Hann kallaði þetta Þríhyrning Pascals.

Löngu seinna, þegar ég var farin að viða að mér og lesa bækur um stærðfræði, fór ég að rekast á þennan þríhyrning. Og eitthvað varð til þess að ég sá að

Summa talnanna í hverri línu var þá veldi af 2: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, og ekki ólíklegt að þannig haldi þetta áfram.

Tvíliðureglan

Í algebru eru algengar tveggja liða stærðir, tvíliður, eins og x + y, a – b, z + 1, algengar.  Í upphafi algebrunáms glíma nemendur við að margfalda saman tvíliður, og jafnvel rekja þriggja liða stærðir aftur í sundur í tvíliður með ágiskun.

(x + 2)(x +3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
… og x² + 3x + 2 = (x + 1)(x+2)

Það er líka hægt að hefja tvíliður upp í veldi:
(x + y)² = (x + y)(x + y) = x² + xy + xy + y² = x² + 2xy + y².

Svona mætti halda áfram og finna
(x + y)³ = (x + y)(x + y)²
= (x + y)(x² + 2xy + y²)
= x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Í framhaldi birtist tvíliðureglan (e. binomial theorem):

(x + y)⁰ = 1
(x + y)¹ = 1x + 1y
(x + y)² = 1x² + 2xy + 1y²
(x + y)³ = 1x³ + 3x²y + 3xy² + 1y³
(x + y)⁴ = 1x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + 1y⁴
(x + y)⁵ = 1x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + 1y⁵
….

Tvíliðureglan geymir mynstur.

• Skoðið talnastuðlana. Hvað er að segja um þá?
• Og hvað er að segja um veldisvísana á x og y?

Hver var Blaise Pascal?

Talnaþríhyrningurinn er nefndur Þríhyrningur Pascals, en hann var þekktur löngu fyrir daga stærðfræðingsins Blaise Pascals (1623–1662). Til dæmis þekkti Kínverjinn Jia Xian þríhyrninginn 600 árum fyrir daga Pascals. Segja má, að Pascal hafi staðið á herðum merkra fyrirrennara. Pascal og vinur hans Fermat teljast meðal höfunda líkindareiknings, og þríhyrningurinn gegndi einmitt hlutverki í líkindareikningi.

Tvíliðureglan í lífinu

Margir furða sig á því að til séu stórir systkinahópar þannig að öll systkinin séu af sama kyni, til dæmis fimm systur eða sjö bræður. Við getum líkt eftir slíku fyrirbrigði með því að varpa peningi. Ef við gerum ráð fyrir að jafnar líkur séu á að upp komi króna eða fiskur þegar peningi er kastað, finnst manni kannski sanngjarnt að eftir þrjú köst með fiskum komi upp króna, en líkindin hafa ekki neitt minni. Það eru ennþá jafnar líkur á krónu og fiski. Þetta er gjarnan sýnt með líkindatré. Lesið er úr líkindatrénu þannig að allar mögulegar keðjur eru lesnar niður frá fyrsta kasti.

Líkindatréð lítur svona út:

Í fyrsta kasti eru möguleikarnir tveir:

Eftir tvö köst eru möguleikarnir fjórir:

Hér er rétt að staldra við. Við sjáum að röðin skiptir máli, FK og KF eru tveir mismunandi möguleikar.

Eftir þrjú köst eru möguleikarnir átta:

Eftir fjögur köst verða möguleikarnir sextán:

Nú er mynstrið farið að minna á þríhyrning Pascals. Og það er rétt! Lesandinn fær kost á því að pæla í hvernig á því stendur. Við giskum á að fjöldi mögulegra útkoma úr fimm köstum sé 32 með því að styðjast við þríhyrning Pascals:

Við ljúkum þessari athugun á að íhuga hvernig sé líklegast að sex systkina hópur skiptist í drengi og stúlkur. Á sama hátt og jafnar líkur eru á að fá fisk og krónu þegar peningi er varpað, má líta svo á að jafnar líkur sé á að eignast dreng en stúlku.

Er líklegast að hópurinn skiptist jafnt, 3 drengir og 3 stúlkur?
Sjötta línan í þríhyrningi Pascals er 1    6   15   20   15   6   1. Summan er 2⁶ = 64.
Líkurnar á að hópurinn skiptist jafnt er þá 20/64 = 31%. Líkur á að hópurinn skiptist 4 á móti 2 er (15+15)/64, eða 30/64 = 47% eða nærri helmingslíkur. Líkur á stúlkum eingöngu eru 1/64 = 1,6% og sama er að segja um líkur á drengjum eingöngu.   

---