Heilabrot og hugkvæmni

Þuríður Ástvaldsdóttir.

Fyrir tæpum þjátíu árum var námskeið fyrir stærðfræðikennara í grunnskóla haldið á netinu og var það nýlunda. Heiti námskeiðsins var Heilabrot og hugkvæmni. Það var fyrst haldið veturinn 1997 –1998 og hlaut góðar viðtökur og var síðan endurtekið veturinn 1998 –1999. Á fyrra námskeiðinu voru þátttakendur 37 ásamt rúmlega 300 grunnskólanemendum. Á seinna námskeiðinu voru þátttakendur 26 og með þeim um 500 nemendur.

Aðalhönnuður og stjórnandi námskeiðsins var Anna Kristjánsdóttir prófessor í stærðfræðimenntun. Hún lagði alltaf mikla áherslu á mikilvægi skilnings nemenda í stærðfræðinámi og taldi að góðar þrautir sem reyndu á hugsun nemenda efldu skilning þeirra á stærðfræði. Hún taldi að greina mætti hvernig nemendur hugsuðu og skildu hlutina í gegnum lausnaleiðir þeirra sem þeir væru látnir skrá skilmerkilega og / eða útskýra í orðum.

Önnu var auk þess mjög áfram um að nýta tækni í stærðfræðinámi. Hún sá hvernig tölvutækni og reiknivélar gátu opnað á og auðveldað ýmsar stærðfræðilegar vangaveltur og þannig stutt við skilning og nám nemenda.

Námskeiðið Heilabrot og hugkvæmni var frumkvöðlaverkefni og krafðist mikillar vinnu og undirbúnings. Anna fékk þrjá kennara með sér í lið til að halda utan um verkefnið og sinna þátttakendum. Þessir kennarar eru Sólrún Harðardóttir, Guðbjörg Helga Guðmundsdóttir og Þuríður Ástvaldsdóttir. Þeirra hlutverk var m.a. að finna, þýða og staðfæra verkefni, sinna vef námskeiðsins og vera í sambandi við þátttakendur.

Uppbygging námskeiðsins

Námskeiðið var frumraun hvað það varðar að nýta tæknina og gefa kennurum möguleika á þátttöku óháð búsetu. Námskeiðið var alfarið kennt sem fjarnámskeið. Kennarar sem skráðu sig á námskeiðið tóku þátt ásamt nemendum sínum og þar að auki var vefur námskeiðsins opinn öllum. Inn á hann fóru öll verkefni námskeiðsins ásamt fræðslu um hvernig æskilegast væri að vinna með þrautir og þrautalausnir í kennslu. Umræður milli þátttakenda fóru fram á netpóstlista og þar voru einnig verkefnaskil í formi frásagna um þrautirnar og hvernig vinnan með þær hefði gengið.

Markmið námskeiðsins var að kynna markvissa notkun þrauta í stærðfræðikennslu. Segja má að vinna með þrautir í stærðfræðikennslu hafi verið viss nýjung fyrir marga á þessum tíma. Fræðsluefni námskeiðsins sem ætlað var kennurunum skrifaði Anna Kristjánsdóttir og hún valdi einnig erlendar greinar sem fjölluðu um notkun þrauta og þrautalausnir í kennslu og sendi reglulega með verkefnapökkunum í því augnamiði að skapa umræður um þær milli þátttakenda.

Lausnir þrauta

Mikilvægt er að gera sér grein fyrir því að það sem er þraut fyrir einn er ekki endilega þraut fyrir annan. Einnig er mikilvægt að venja nemendur af því að haga sér eins og um spurningakeppni sé að ræða, þar sem gildir að vera fyrst eða fyrstur að finna rétt svar. Öll ánægja af vinnunni hverfur ef svarið liggur ljóst fyrir. Aðaláherslan á að vera á lausnarleitina sjálfa og síðan þarf að leggja áherslu á að nemendur fái að útskýra og rökstyðja eigin lausnir fyrir hópnum þegar allir eru búnir að reyna. Athyglisvert er að nemendur geta í gegnum vinnu með þrautir ráðið við margt í stærðfræðinni sem þeim hefði við aðrar aðstæður ekki verið ætlað að vinna með.

Margar þrautanna á námskeiðinu voru lagðar fyrir nemendur á breiðu aldursbili sem skilaði sér í áhugaverðum samanburði á mismunandi lausnarleiðum. Við lausnir sumra þrauta svipaði lausnarleiðum yngri og eldri nemenda oft saman en við lausnir annarra þrauta gat verið mikill munur. Munurinn var mestur ef þrautin tengdist nýrri færni sem þeir eldri voru búnir að kynnast/læra um. Dæmi um þetta var klassísk þraut sem snýst um fjölda handabanda. Þetta er skemmtilegt verkefni sem fellur vel að talningafræðinni sem er hluti af námsefni á efsta stigi grunnskóla.

Það gengur alltaf vel að vinna með þessa þraut. Oftast er byrjað á því að takast í hendur, hlutgera hugsunina. Síðan koma teikningar og töflur og leitað að reglu. Nemendur í 4., 5., 7., 8. og 9. bekk unnu með þrautina og komu með réttar niðurstöður fyrir fyrstu tvær spurningarnar. Þrjár lausnir komu fyrir x fjölda einstaklinga: Ein rakningarvensl og tvær lausnir settar fram sem algebruformúlur, önnur útskýrð í orðum og hin með táknum.

Kartöflupokarnir er dæmi um þraut sem hefur margar lausnir og getur orðið grunnur að vangaveltum um hverjar eru raunhæfar. Hér eru það nemendur í 7. bekk sem prófa sig áfram og koma með fjölbreyttar lausnir:

• 5 karlar, 20 konur og 70 börn
• 11 karlar, 15 konur og 74 börn
• 14 karlar, 10 konur og 76 börn
• Einn nemandi taldi best að sleppa konunum og fékk 20 karla og 80 börn

Hér er komið að seinni hluta vinnunnar sem er ekki síður mikilvægur. Nemendur útskýra lausnarleiðir sínar fyrir bekknum og í sameiningu fer hópurinn yfir lausnirnar, athugar hvort allar geti staðist tölulega, gætu verið fleiri lausnir og svo framvegis. Þar sem þessi talnaþraut um kartöflupoka er sett í aðstæður sem gætu verið raunverulegar, bjóða lausnirnar líka upp á félagslegar vangaveltur.

Þetta var vinsæl þraut og lausnirnar voru að mestu réttar. Einn hópur yngri nemenda átti þó í erfiðleikum með að skilja hvað var í gangi. Daginn eftir kom kennarinn með legobíl sem gerði verkefnið skiljanlegt. Í vinnu með þrautina um dekkjaskipti kemur skýrt fram að oft er nauðsynlegt að geta hlutgert verkefnið.

Þátttakendur námskeiðsins

Ýmsar spurningar vöknuðu hjá kennurunum sem tóku þátt. Verður kennari að vera búinn að leysa þrautirnar áður en hann leggur þær fyrir eða er betra að hann viti ekki lausnina? Hvað eiga hópar að vera stórir? Eiga allir að fá eintak af þrautunum eða aðeins eitt eintak á hóp? Kennarar finna fljótt hvað virkar og haga framkvæmd eftir því. Einnig er gott að vera með aðra þraut tilbúna fyrir hópa sem eru snöggir að leysa verkefnin.

Engar lausnir fylgdu þrautunum. Fyrirspurnir um lausnir komu strax og gafst þá tækifæri til að ræða mikilvægi þess að kennarinn haldi sig á hliðarlínunni og temji sér hlutleysi meðan nemendur vinna og ræða sín á milli. Í umræðum kom fram að það gæti jafnvel virkað hvetjandi á nemendur að vinna með þrautir sem kennari hefði engar lausnir við.

Nemendur voru áhugasamir og vinnan með þrautirnar glæddi áhuga margra nemenda sem yfirleitt voru áhugalausir í stærðfræðitímum. Ekki voru samt allir nemendur hrifnir af vinnu með þrautir þar sem hvorki fyrirfram gefnar aðferðir né lausnir voru gefnar.

Aðeins einn þátttakandi ræddi um fyrirkomulag vinnunnar. Hann taldi að best væri að byrja á einstaklingsvinnu og síðan ættu nemendur að fara að vinna saman. Hafa ber í huga að það að vinna saman að lausn þrauta og útskýra hugsun sína fyrir öðrum er stór hluti af vinnu með þrautir í kennslu.

Þegar rýnt var í sýnishorn af lausnunum sem bárust kom í ljós hvað nemendurnir voru oft nálægt lausn en kláruðu ekki alveg verkefnið eða að lausnin sem þeir skiluðu var langt frá því að geta staðist. Það er augljóst að þarna vantaði seinni lotu vinnunnar sem felst í því að allur hópurinn sjái lausnirnar og hjálpist að við að sannreyna og ræða niðurstöður.

Reynsla þátttakanda

Þátttakandi sem tók þátt í námskeiðinu segir hér frá reynslu sinni.

Mér bauðst að taka þátt í námskeiðinu Heilabrot og hugkvæmni skólaárið 1997 –1998. Þetta var fyrsta námskeiðið sem ég sótti þar sem ég hitti hvorki kennara námkeiðsins né aðra þátttakendur. Samt þurfti að fylgja tímaáætlun og skila verkefnum og svo var ákveðin eftirfylgni og umræður á vef. Ég var spennt fyrir því að kynna sérstakar þrautir fyrir nemendum og fylgjast með lausnaleiðum þeirra. Þetta reyndist mjög gott námskeið og er ég enn að nýta mér efni þess.

Á þessum tíma var ég að kenna á yngsta stigi en fékk að leggja þrautir fyrir nemendur í 6. bekk þegar nýr þrautapakki barst til mín. Þrautapakkarnir voru sendir til kennara í löturpósti en þrautirnar voru jafnframt birtar á vef námskeiðsins. Við áttum að senda valdar lausnir nemenda til umsjónarmanna og einnig áttum við að segja frá vinnu nemenda á vef námskeiðsins. Þrautirnar fundust mér áhugaverðar og gaman var að leggja þær fyrir nemendur og sjá lausnarleiðir þeirra.

Ég man sérstaklega eftir þremur þrautum sem ég lagði fyrir nemendur og við höfðum öll gaman af. Nemendur unnu saman að lausn og lögðu sig mjög fram. Margir þurftu að prófa sig áfram og flestir enduðu á að teikna upp lausnir sínar. Ég hef lagt þessar þrautir af og til fyrir nemendur mína undanfarin ár og hef ég til dæmis notað þær sem verkefni í Hugsandi kennslustofu.

Ég tel að uppbygging þessa námskeiðs hafi gert það að verkum að það hafði varanleg áhrif á kennsluhætti mína. Það náði yfir allt skólárið og því fylgdu verkefni sem ég þurfti að leggja fyrir nemendur og fylgja vinnu þeirra síðan eftir til námskeiðshaldara. Auk þess átti ég að lesa greinar sem dýpkuðu skilning minn á mikilvægi þrautalausna í stærðfræðikennslu. Það var ekki fyrr en að ég kynntist námskeiðum Menntafléttunnar að ég gat sótt stærðfræðinámskeið með álíka uppbyggingu. Það er að segja námskeið sem nær yfir allt skólaárið með lesefni og nemendaverkefnum sem leggja á fyrir nemendur og síðan er þeirri vinnu fylgt eftir með umræðum. Ég tel að námskeið sem ná yfir lengri tíma og gera ráð fyrir aðkomu nemenda séu vel til þess fallin að styðja kennara við að breyta kennsluháttum sínum.

Lokaorð

Því miður er vefur námskeiðsins Heilabrot og hugkvæmni ekki virkur lengur en þar var gott safn af þrautum. Margar þrautir voru áhugaverðar og verða valdar þrautir birtar í Flatarmálum í vetur.

Yfir sextíu kennarar um land allt tóku þátt í heilsvetrar námskeiði með nemendum sínum, lásu um og notuðu nýjar leiðir í kennslu. Vinna þeirra vakti umtal og áhuga meðal samstarfskennara. Með um 800 nemendum barst umræða inn á heimili víða um land og foreldrar sýndu áhuga.

Stóðst námskeiðið væntingar? Hafði það áhrif til breytinga á kennsluháttum? Í mínum augum er svarið augljóst. Fyrir marga kennara varð námskeiðið upphaf breytinga. Reynsla kennara af vinnu með þrautir hefur áhrif á hvernig unnið er með önnur verkefni í stærðfræði. Þeir öðlast meira öryggi við að takast á við opnari verkefni í kennslustundum. Athygli kennara beinist meira að skilningi og lausnarleiðum nemenda og umræða um fleiri leiðir til að nálgast og leysa verkefni verður eðlileg.

Vinna með þrautir er ein af vörðunum á leið til breyttra kennsluhátta í stærðfræði og er af sama meiði og kennsluaðferðirnar Stærðfræðikennsla byggð á skilningi barna (SKSB) og Hugsandi skólastofa.