Ósk Dagsdóttir.
Sum telja að stærðfræði falli undir raunvísindi því auðvitað er hún mikið notuð í raunvísindum, en önnur fullyrða að stærðfræði teljist frekar til hugvísinda. Það er hægt að líta á stærðfræðina sem verkfæri, sem tungumál og sem sköpun.
Sem verkfæri er stærðfræði hagnýt og gefur möguleika til þess að hjálpa fólki og stærðfræði á þátt í mörgum stærstu uppfinningum á sviði læknavísinda, stjörnufræði, erfðafræði og annarra vísinda.
Stærðfræði má líta á sem fallegt tungumál sem má nota til að lýsa heiminum. Tungumálið er alþjóðlegt og hægt er að segja mjög margt með fáum táknum. Hins vegar getur tungumál stærðfræðinnar virst óskiljanlegt þeim sem ekki hafa lært það eða hafa misst trúna á sér til þess að skilja það.
Stærðfræðin sem sköpun tengist bæði verkfærinu og tungumálinu. Eftir því sem nemendum er leyft að vera meira skapandi í stærðfræðilegum viðfangsefnum þeim mun betur geta þau valið sér ólík verkfæri í mismunandi aðstæðum. Eftir því sem stærðfræðingar sökkva sér meira í sköpun í stærðfræði stækkar tungumálið og þau ljóð sem lesa má.
Það eru margar leiðir til þess að vera skapandi í stærðfræði. Sköpunin getur falist í lausnarleiðum, samvinnu, framsetningu og hugsun. Öll geta verið skapandi í stærðfræði og mikilvægt er að hvetja til sköpunar í öllum aldurshópum.
Í leikskóla má efla sköpun í stærðfræði með því að gefa nemendum tækifæri til þess að vinna með skapandi efnivið og rækta skapandi samtal. Ung börn geta lært mikið af því að leika sér með ólíka kubba, skoða dagatal, klukku, staðsetningu og fjarlægðir. Þau eru líka oft opin fyrir því að ræða vítt og breytt um sína eigin upplifun af heiminum og teikna, leira eða lita það sem þau sjá.
Í grunnskóla næst fram mikilvæg sköpun með því að leyfa nemendum að fara eigin leiðir og byggja upp skilning í sameiningu. Það er engin leið röng þegar kemur að stærðfræði en auðvitað gera öll mistök. Mistök veita tækifæri til þess að læra meira um hugsun nemenda og hjálplegt getur verið að kenna nemendum um það hvernig heilinn þroskast og hvernig við lærum af mistökum. Ef við gerum allt rétt erum við líklega ekki að læra mikið.
Aðrar leiðir fyrir nemendur í grunnskóla eru að samþætta stærðfræði við aðrar námsgreinar eins og listir, íþróttir, heimilisfræði, hönnun og smíði, textílmennt, náttúrufræði og samfélagsfræði. Einnig að fara út í náttúruna og skoða hvar má finna stærðfræði í nærumhverfinu.
Í framhaldsskóla er lykillinn að sköpun í stærðfræðinámi að leyfa nemendum að takast á við flókin verkefni í samvinnu. Að reyna að finna sönnun sjálf getur verið erfitt en gefandi og það að skoða fjölbreyttar leiðir til þess að sanna sama atriði getur sýnt nemendum hvað stærðfræðin er fjölbreytt. Að skilja sannanir stærðfræðinga og skynja fegurð þeirra, getur líka verið áhugavert fyrir nemendur. Sköpun í framhaldskólastærðfræði getur líka byggst á því að gefa nemendum tækifæri til þess að vinna með tölvuforrit eins og Geogebru og þrátt fyrir aldurinn geta verkleg gögn og góður göngutúr skilað sínu fyrir þennan aldurshóp.
Sum telja að þau sem eru í erfiðleikum með stærðfræði ættu frekar að læra stærðfræðina út frá föstum reglum og fyrirframgefnum aðferðum en það hefur sýnt sig að þau sem eru í erfiðleikum hafa oft mestu þörfina fyrir sköpun. Með því að styrkja nemendur til að fara eigin leiðir má auka skilning þeirra á stærðfræði en hún lærist best ef nemandi skilur hvað fengist er við. Þetta þýðir ekki að það megi aldrei læra reglur eða aðferðir heldur er þetta allt spurning um stað og stund og hvort slíkt er lært í gegnum sköpun og skilning.
Algengur misskilningur er að sköpun í stærðfræði feli í sér að nemendur eigi ekkert að reikna. Það er hins vegar ekki rétt. Hún felur eingöngu í sér að það að reikna sé ekki upphaf og endir stærðfræðinnar heldur sé hún mun víðari bæði hvað snertir innihald og vinnubrögð. Með sköpun getur stærðfræðin verið mjög skemmtileg og heillandi.
Nokkrar hugmyndir að skapandi verkefnum
Útistærðfræði
Útistærðfræði er áhugaverðust ef við nýtum umhverfið í náminu. Auðvitað getur verið notalegt að setjast út með stærðfræðibókina en ennþá betra er að fara út og skoða umhverfið út frá sjónarhorni stærðfræðinnar. Þetta má gera í náttúrunni eða hinu manngerða umhverfi, það er nefnilega líka skemmtileg stærðfræði í borgum, stéttum og byggingum. Fyrir yngri nemendur getur hentað að skoða eitt atriði og leita að ákveðnu formi en fyrir eldri nemendur getur farið fram almenn leit að stærðfræðilegum fyrirbærum. Benda má nemendum á að skoða umhverfið út frá fjölda, hraða og formum til þess að koma hugsun þeirra af stað. Einnig er hægt að útbúa sérstök verkefni sem tengjast náttúru, umhverfi, tölfræði og rúmfræði. Í bókinni Messy Maths eftir Juliet Robertson eru fjölmörg verkefni sem má vinna úti. Gaman er frá því að segja að í bókinni eru verkefni frá íslenskum leikskólakennara.
Tölfræði
Tölfræði vefst fyrir mörgum. Darrell Huff fjallar í bók sinni How to lie with statistics um það hvernig má blekkja með tölfræði og bendir á að það sé til lygi, haugalygi og svo tölfræði. Sú bók er stórskemmtileg og þar eru margar myndir sem geta vakið upp umræður og áhuga. Gott er að ræða við nemendur um þá tölfræði sem sett er fram í fjölmiðlum og hvernig megi meta hvort hún sé áreiðanleg eða villandi. Það getur verið skapandi að rannsaka tölfræðilega framsetningu og ræða um hana.
Einnig er spennandi fyrir nemendur að nýta tölfræði í tengslum við eigin áhugamál og þar má byrja með ungum nemendum en gera flóknari kröfur til þeirra sem eru lengra komin. Í þessu má líka gefa nemendum tækifæri til þess að læra að nota töflureikna. Mjög áhugavert er fyrir nemendur að nota töflureikni til að búa til myndrit eins og súlurit, línurit og skífurit en sköpun getur falist í því að leyfa nemendum að velja viðfangsefni og rannsaka sjálf það sem þau vilja setja fram. Tölfræðikynningar eru tækifæri fyrir nemendur til þess að segja frá eigin hugðarefnum með tungumáli stærðfræðinnar og ræða um framsetningu.
Tækni
Skapandi tækni í stærðfræðinámi er þáttur sem sumir kennarar eru óöruggir með. Mörg halda að tæknin sé flóknari en hún í rauninni er en gott getur verið að byrja á því að kynna sér hvað er til í skólanum, hvernig aðgengi er háttað hjá sveitarfélaginu og byrja að prófa. Það getur líka verið gott að athuga hvort það séu einhver námskeið í boði eða hvort þið þekkið einhvern sem kann á tæknina en svo er oft hægt að finna myndbönd á netinu sem kenna ýmislegt.
Þegar valin er skapandi tækni er gott að spyrja sig hvert hlutverk nemenda er og hvernig tæknin styður við nám þeirra, meðal annars með tilliti til hæfniviðmiða í aðalnámskrá og grunnþátta menntunar. Mikilvægt er að skoða hversu vel tæknin hentar fyrir þann aldur sem á í hlut og að sjálfsögðu að hún sé mannúðleg og innihaldi ekki ofbeldi gegn fólki eða dýrum.
Fyrir leikskóla eru til skemmtilegar Fischer Price lirfur sem hægt er að forrita og svo er til forritanlegt Duplo. Alltaf er best fyrir leikskólabörn að hafa hluti sem hreyfast og hægt er að handleika. Á þessum aldri er leikur og upplifun aðalatriðið. Ef nota á tækni í leikskólanámi er mikilvægt að hún sé skemmtileg og styðji við félagsleg samskipti.
Á yngsta stigi grunnskóla er ennþá mikilvægt fyrir nemendur að handleika hluti. Þá hentar OSMO mjög vel. OSMO er forrit fyrir iPad en með forritinu fylgir spegill og verkleg gögn. Spegillinn festist á iPad-inn þannig að verklegu gögnin sem nemendur handleika eru notuð til þess að leysa verkefnin í forritinu. Verkefnin eru tangram, forritun og pitsaleikur þar sem er reiknað og fleiri stærðfræðileikir. Forritunarmýs eins og Jack eða BeeBot eru líka góðar til þess að kenna forritunarhugsun og vinna með tilfinningu fyrir kortum, tölum og vegalengdum.
Á miðstigi má áfram vinna með mýs en önnur vélmenni geta líka verið skemmtileg en þar er Ozobot í miklu uppáhaldi. Ozobot er vélmenni með karakter og þó að það sé forritanlegt er stundum eins og það hafi sinn eigin vilja og geti jafnvel móðgast eða farið í fýlu. Gott er að ræða við nemendur um það að öll tölvutækni sé forrituð af mönnunum og vélmennin geta ekki sjálf ákveðið að taka yfir heiminn og að því fylgi ábyrgð að stýra tækninni á jákvæðan og réttan hátt.
Fyrir unglingastig og framhaldsskólana er hægt að vinna með flest vélmenni en eitt sem er sérstaklega skemmtilegt er iRobot root. Það minnir á ryksuguvélmennin sem koma frá sama framleiðanda en getur gert svo ótal margt og bíður upp á að nýta bæði einföld og flókin forritunarmál. Einnig geta kennarar látið hann skrifa fyrir sig á töfluna.
Önnur skemmtileg vélmenni fyrir ýmsan aldur eru Sphero, Botley og Dash. Geogebra er einnig tækni sem nota má á öllum stigum. Grunnforritið vinnur með hnitakerfi, form og fleira. Þrívíddarforritið færir meira líf í hlutina og þar er meðal annars hægt að nýta sér aukinn veruleika (e. augmented reality) til þess að skella kúlu eða pýramída í kennslustofuna. Á unglinga- og framhaldskólastigi er grafísk reiknivél Geogebru gott verkfæri til þess að teikna og pæla í möguleikum falla og fleiri stærðfræðilegra fyrirbæra.
Það mikilvægasta til þess að læra á tæknina er að þora að prófa sig áfram. Það er fyrir kennara að prófa sjálf tiltekna tækni áður en hún er nýtt í kennslu. Það þýðir ekki að kennarar þurfi að kunna fullkomlega á allt því nemendur græða oft mikið á því að finna lausnir sjálfir og spjalla um leiðir til þess. Þannig myndast góð námsstemning.
Rúmfræði
Í stað þess að segja nemendum hverjar reglurnar í rúmfræði séu má gjarnan leyfa þeim að komast að því. Í rúmfræði er uppgötvunarnám nefnilega tilvalið. Yngstu nemendurnir geta grætt mikið á því að leika sér og sýsla með kubba. Ýmsar tegundir af kubbum henta en segulkubbar og kaplakubbar eru í sérstöku uppáhaldi. Segulkubbar passa þó ekki þeim allra yngstu því ef þeir brotna eru þeir hættulegir. Einingarkubbar eru klassískir og með þeim er hægt að uppgötva margt. Kennari þarf ekki að gera mikið annað en að fylgjast með hópnum en getur rætt við nemendur, komið með hugmyndir og tekið myndir. Skráning getur skipt miklu máli fyrir skapandi ferli og er í anda leiðsagnarnáms og því geta kennarar bæði tekið myndir og skrifað hjá sér athugasemdir um ferlið. Síðan er ekkert sem kemur í veg fyrir að kennarar leiki sér líka og njóti sín í flæði með börnunum.
Uppgötvunarnám á líka við fyrir eldri nemendur. Nemendur geta rannsakað og fundið út reglur fyrir flatarmál hyrninga, rúmmál ferstrendinga eða yfirborðsflatarmál þrívíðra forma. Jafnvel fyrir elstu nemendur er enn hægt að leyfa þeim að glöggva sig sjálf á samhengi, reglum og sönnunum. Hópvinna er lykilatriði í rúmfræði því það gerist svo margt við það að ræða saman og heyra hvernig aðrir hugsa um það sem þú sérð á ákveðinn veg. Kennarinn getur blandað sér í umræðurnar, hent inn kveikjum og ýtt undir sköpun. Á eldri skólastigum er skráning kennara líka æskileg en enn dýrmætara er að kenna nemendum sjálfum að skrá ferlið, bæði stærðfræðilega og með lýsandi orðum.
Þrautalausnir
Þrautalausnir eru hjartað í skapandi stærðfræði. Polya sagði árið 1962 um lausnaleit:
Lausnaleit (e. problem solving) snýst um um að finna leið út úr erfiðleikum, leið kringum hindrun, að ná markmiði sem blasti ekki við. Lausnaleit er sérstakur afrakstur greindar og greind er sérleg gjöf mannanna. Lausnaleit má því sjá sem aðaleinkenni mannlegra athafna.
Ég held reyndar að Jane Goodahl hafi síðar sýnt fram á að það sé ekki bara maðurinn sem búi yfir hæfileikum til að leita lausna í starfi sínu með öpum. Það er líka mikilvægt að muna að við höfum öll greind og hæfileika til lausnaleitar. Það getur nefnilega þvælst mikið fyrir stærðfræðinámi þegar fólk telur að aðeins sum séu stærðfræðifólk og að flókin stærðfræði sé ekki á valdi nema fárra útvalinna.
Með því að fást við þrautir og leysa þær saman geta nemendur þroskað heilann og æft sig í að hugsa á skapandi hátt. Skemmtilegast er að leyfa nemendum að glíma saman við þrautir og ekki er verra ef þau ná að rökræða eða jafnvel þrasa um stærðfræðina, en samt auðvitað á vinalegu nótunum þar sem öll mega koma með sínar hugmyndir sem hlustað er á.
Víða má finna þrautir til að leggja fyrir nemendur. Martin Gardner, sem var töframaður og dálkahöfundur hjá Scientific American, hefur skrifað fjölmargar góðar þrauta- og heilabrotabækur. Ein þeirra var þýdd yfir á íslensku og heitir Aha! Ekki er allt sem sýnist. Entertaining Mathematical Puzzles er sömuleiðis bók sem má mæla með og er full af góðum þrautum. Hér eru tveir góðir þrautabankar á íslensku og svo er auðvitað mikið af góðu efni á vef Flatarmála.
Mynstur
Mynstur þýðir svo margt. Það geta verið talnamynstur, það geta verið mynstur í algebru og það geta verið myndræn mynstur. Myndræn mynstur eru af ýmsum toga. Það getur verið gaman að vinna með menningartengd mynstur eins og saum eða prjón. Brotar (e. fractals) gefa ótal möguleika til rannsókna ásamt myndum eftir Escher þar sem skoða má þökun (e. tesselation) og mörk á milli hins raunverulega og hins sýnilega.
Fyrir yngri nemendur er gagnlegt að vinna með margföldunartöflur út frá mynstrum. Þannig má prenta út hundraðreitatöflu og lita tölur úr ólíkum margföldunartöflum í ákveðnum lit. Eins er áhugavert að rannsaka tölurnar sjálfar og reyna að finna mynstur í þeim. Þetta blasir við í fimm sinnum og níu sinnum töflunum en er flóknara í hinum. Önnur aðferð er kórtalning (e. choral counting) sem er skemmtileg leið til þess að skoða margföldun. Þá er talið frá gefinni tölu og stokkið upp um aðra (eða sömu) gefna tölu þar til kennarinn stoppar og ræðir málin við nemendur í hóp. Með því má skoða margföldun þar sem ekki er byrjað á núlli. Þá má sérstaklega mæla með því að taka sjö sinnum töfluna sem er gagnleg fyrir dagatalið sama hvaða tölu byrjað er á.
Fyrir eldri nemendur getur verið áhugavert að skoða youtube-rás sem Vihart heldur úti. Vihart skoðar það sem hún kallar skemmtistærðfræði (e. recreational mathematics). Hún talar mjög hraða ensku en öll myndböndin eru myndræn og skapandi. Hún skoðar meðal annars óendanleikann og talnarunur á skemmtilegan hátt.
Fjármál
Að lokum langar mig að nefna fjármál sem leið til þess að vinna skapandi með stærðfræði. Mörgum finnst fjármál kannski ekki mjög skapandi ef þeim leiðist heimilsbókhaldið en fyrir nemendur getur það að leika sér með peninga, að fara í búðarleik, stofna fyrirtæki eða hanna íbúð verið mjög skapandi. Það þarf samt að passa að fara ekki í samanburð sem byggist á því að skoða og bera saman hluti sem nemendur eiga sem tengist þá bakgrunni nemenda og fjárhagslegri stöðu þeirra. Mikilvægt er að hafa allar aðstæður um fjármál ímyndaðar því þá losnum við undan þeim vanda og miklu fleiri möguleikar myndast á skapandi vinnu.
Fjármálin má auðvitað líka taka inn í töflureikni og þó að slíkt virðist ekki í fyrstu skapandi geta nemendur æft sig í að hanna eigin líkön sem byggja á því að setja inn ólíkar forsendur og fá ólíkar niðurstöður.
Að lokum
Sama hvaða skapandi leiðir eru farnar í stærðfræði þá er æskilegt að leyfa ólíkar forsendur, ólíkar niðurstöður, ólíkar lausnarleiðir, ólíkar hugmyndir og ólíka nemendur. Fjölbreytnin er sterkur bandamaður og mikilvægt er að hjálpa nemendum að meðtaka að þau geta öll lært stærðfræði og að við kunnum að meta hugmyndir þeirra allra. Ekkert er mikilvægara en einmitt það.
Ósk Dagsdóttir, Lektor í kennslufræði með áherslu á sköpun og stærðfræðinám, Menntavísindasviði Háskóla Íslands