Ingólfur Gíslason.
Stærðfræðikennslubækur eru fullar af æfingaverkefnum. En nemendur þurfa meira en að gera æfingar – þeir þurfa líka að glíma við krefjandi stærðfræðiverkefni. Ein leið til að útbúa góð verkefni er að taka venjuleg verkefni úr kennslubókum og víkka þau út þannig að þau séu ekki einungis æfingar heldur kalli líka á alhæfingar og þar með á stærðfræðilega hugsun. Þegar ég leitaði að verkefnum um talnaritun í tugakerfinu í Stiku 1a fann ég eftirfarandi verkefni á blaðsíðu 13.
Mynd 1: dæmi 1.29 á bls. 13 í Stiku 1a Nemendabók
Mynd 2: Stika 1a Nemendabók
Í verkefninu er líklega ætlast til þess að nemendur finni út úr því að bera saman tölur eins og 456, 546, 645 og svo framvegis, og átti sig að lokum á því að stærsta talan sé 654 en minnsta talan sé 456. Þá reikna þau mismuninn sem er 654 – 456 = 198. Tilgangur verkefnisins virðist því vera að auka skilning nemenda á tugakerfinu. Sér í lagi, að gildi hvers tölustafs er ólíkt eftir því hvar hann stendur (sjá bláa rammann undir verkefninu á mynd 1, um töluna 325.) Þegar ég las þetta verkefni vakti það athygli mína að tölurnar standa í röð, hlið við hlið á talnalínunni: 4, 5, 6. Mér datt í hug hvort það hefði einhverja sérstaka þýðingu og hvort það gæti verið að aðrar þrjár tölur í röð gæfu einhverjar sambærilegar útkomur. Ég sting upp á því að lesendur prófi það. Og þá fannst mér eins og í verkefninu hlyti að felast upplagt tækifæri fyrir unga nemendur að skoða regluleika, setja fram og prófa tilgátur, alhæfa og rökstyðja. Hér í framhaldinu verður því lýst hvernig hægt er að opna og útvíkka verkefnið enn frekar og gera úr því verðugra verkefni, nokkuð djúpa stærðfræðilega rannsókn.
Eiginleikar
Ég byrja ferlið á því að skrá: hverjir eru eiginleikar verkefnisins? Þetta gerði ég líka þegar ég þróaði verkefnið Vélmenni á talnalínu í Flatarmálum (2023). Nú sem þá eru óteljandi margir möguleikar á því að nefna stærðfræðilega eiginleika verkefnisins. Við skoðum bæði stærðfræðilegu fyrirbærin og venslin í verkefninu og í ætluðu svari. Mörg stærðfræðiverkefni má túlka þannig að það sé verið að leita að einhverjum stærðfræðilegum hlut sem uppfyllir einhver stærðfræðileg skilyrði. Til dæmis, ef nemandinn á að leggja saman 5 + 7, þá er verið að leita að framsetningu tölu í tugakerfinu sem er jöfn 5 + 7, 12. Í verkefninu hér er nemandinn beðinn (að lokum) að finna mismun tveggja talna sem uppfylla ákveðin skilyrði. Greinum nú nokkra eiginleika verkefnisins með það fyrir augum að skoða listann á eftir og spyrja: hvað ef ekki? Hvað ef einhver eiginleiki er ekki svona? Hvað ef við breytum einum eða fleiri eiginleikum?
- Gefnar eru tölur
- Tölurnar eru 4, 5 og 6
- Tölurnar eru þrjár talsins
- Tölurnar eru heilar
- Tölurnar eru jákvæðar
- Tölurnar eru nágrannatölur (þær eru hlið við hlið á talnalínunni sem heilar tölur)
- Tölurnar eru skrifaðar með einum tölustaf
- Við eigum að finna stærstu og minnstu töluna sem hægt er að mynda (með því að skrifa tölu í tugakerfinu)
- Við eigum að reikna mismun
Hægt er að halda áfram og finna fleiri eiginleika. En hér eru nokkrar hugmyndir um hvert má fara með verkefnið með því að spyrja: hvað ef (ekki)?
- Hvað ef tölurnar væru ekki 4, 5 og 6, heldur 7, 8 og 9 eða aðrar þrjár nágrannatölur?
- Hvað ef tölurnar væru ekki þrjár talsins heldur tvær? Eða fjórar? Eða fleiri?
- Hvað ef tölurnar væru ekki nágrannatölur heldur væri hægt að raða þeim með mismuninn 2 á milli? (Eins og 1, 3, og 5, eða 2, 4, og 6). Eða 3 á milli?
- Hvað ef tölurnar væru ekki heilar heldur brot? Hvað ef einhver tala væri neikvæð?
- Hvað ef tölurnar færu út fyrir tuginn (ekki lengur einn tölustafur)?
- Hvað ef við reiknuðum summu en ekki mismun? Margfeldi? Meðaltal?
Hér mætti líka halda áfram. Í framhaldinu skoðum við aðallega fyrsta punktinn: hvað ef við fáum ekki þessar tilteknu tölur, heldur aðrar tölur sem eru á einhvern hátt svipaðar? Með öðrum orðum þá prófum við að nota aðrar tölur með sem flesta sömu eiginleika.
Tilgátur og alhæfingar
Verkefnið í Stiku 1a skortir eitt mikilvægt atriði til að geta talist stærðfræðilegt verkefni í raun og veru: tækifæri til þess að alhæfa, að finna almenna reglu, fullyrðingu sem er alltaf sönn þegar einhver tiltekin skilyrði (eiginleikar) eru til staðar. Til þess að skoða hvort einhverjir möguleikar eru til alhæfingar er upplagt að prófa að breyta dæminu lítillega. Til dæmis má reyna að halda sem flestum almennum eiginleikum þess. Ef við prófum aðrar tölur sem uppfylla líka flesta (eða alla) almenna eiginleika og fáum sömu niðurstöðu og með upphaflegu tölunum þá erum við komin með efni í alhæfingu. Þess vegna prófum við aðrar þrjár tölur eins og 7, 8, og 9. Í ljós kemur að þar er sami mismunur, 198. Þetta ætti að vekja upp spurninguna: er þetta alltaf svona? Og, jú, prófun á fleiri þremur tölum sem eru í svona röð gefur alltaf 198. Þess vegna setjum við fram tilgátu: mismunur stærstu og minnstu þriggja stafa tölu sem mynduð er úr þremur nágrannatölum er 198. Þessi tilgáta lýsir alhæfingu. Fyrir nemendur í grunnskóla mætti því bæta eftirfarandi spurningu við verkefnið:
- gerið sama verkefni með tölunum 7, 8 og 9. Hvað kemur í ljós? Prófið fleiri svona tölur og finnið einhverja reglu.
Röksemdir og sannanir
Tilgátuna um mismuninn 198 má rökstyðja á marga vegu. Ein leið er að setja fram eftirfarandi rökstuðning:
Til að búa til stærstu þriggja stafa töluna látum við stærsta tölustafinn í sætið fyrir hundruð (fremst), næst stærsta tölustafinn í tugasætið (í miðjuna) og svo minnsta tölustafinn í einingasætið (aftast). Til að búa til minnstu þriggja stafa töluna víxlum við á stöfum í hundraðssætinu og einingasætinu (röðin verður öfug). Munurinn á stærsta tölustafnum og minnsta tölustafnum er 2, af því að tölustafirnir eru nágrannatölur. Við getum því hugsað frádráttinn svona: Drögum fyrst frá hundruðin. Stærri þriggja stafa talan er alltaf tveim hundruðum stærri en sú tala sem dregin er frá, svo við fáum 200. Þá drögum við frá tugina en þeir eru jafn margir, svo við erum enn með 200. Þá drögum við frá einingarnar og lægsta talan hefur tveimur fleiri einingar svo við þurfum að draga 2 frá 200. Fáum 198.
Önnur leið er að nota bókstafi eða önnur tákn til þess að tákna tölustafi. Látum A tákna minnsta tölustafinn. Þá eru hinir tölustafirnir tölurnar A+1 og A+2. Í upphaflega dæminu væri þá A = 4, og þá A + 1 = 5 og A + 2 = 6. Setjum upp talnahús:
| Hundruð | Tugir | Einingar | |
| Stærri talan | A+2 | A+1 | A |
| Minni talan | A | A+1 | A+2 |
| Mismunur | 2 | 0 | -2 |
Við sjáum að við fáum tvö hundruð mínus tveir: 200 – 2 = 198.
Enn önnur leið er að útfæra þetta talnahús með tugakerfiskubbum, þar sem við gefum okkur tölustafina 1, 2 og 3 (og útskýrum hvers vegna það sama gerist þó að það væru aðrir tölustafir):
Mynd 3: Fengin frá Adam David Wheeler
Þarna táknar lokamyndin að við eigum eftir að draga tvo gula kubba (einingar) frá þessum tveimur bláu plötum (hundruðin).
Ungir nemendur eru færir um að finna upp rök eins og þau sem eru sett fram hér að ofan ef þau fá hvatningu og ögrandi spurningar frá kennara. Þau geta sett rökin fram og sannfærst af þeim þó að þau þurfi ekki að setja þau formlega fram og það er meira en líklegt að oft þurfi að styðja þau í að gera röksemdirnar nákvæmari. Þá reynir á dómgreind kennara og skynjun hans á því hve mikil nákvæmni henti nemendahópnum.
Að opna og útvíkka
Greiningin á verkefninu leiðir í ljós að sami mismunur fæst ef við reiknum mismun stærstu og minnstu þriggja stafa tölu sem hægt er að mynda úr þremur nágrannatölum. Samskonar greining myndi leiða í ljós að það sama gildir um mengi þriggja talna sem er hægt að raða í röð með öðrum föstum mismuni: ef mismunurinn er 2 fæst alltaf 396, ef mismunurinn er 3 fæst 567. Og þessi regla gildir líka ef við túlkum dæmið þannig að við setjum hverja tölu í eitt af sætunum hundruð, tugi og einingar, jafnvel þó að tölurnar þrjár séu ekki einfaldir tölustafir, heldur mega þær vera stærri en 9, neikvæðar eða brot. Ef við skoðum tölur stærri en 9, myndum við til dæmis túlka dæmið á eftirfarandi hátt (skrifum ekki gefnu tölurnar í röð), segjum ef tölurnar væru 23, 24 og 25:
| Hundruð | Tugir | Einingar | |
| Stærri talan | 25 | 24 | 23 |
| Minni talan | 23 | 24 | 25 |
| Mismunur | 2 | 0 | -2 |
Stærri talan er (25 x 100) + (24 x 10) + 23 = 2763. Lægri talan er 2565. Mismunurinn er 198.
Einnig má fá niðurstöður um tvo tölustafi, fjóra tölustafi, og svo framvegis. Það er því óhætt að opna verkefnið með því að biðja nemendur að prófa til dæmis (eitt eða fleiri):
- aðra þrjá tölustafi sem eru hlið við hlið í röð
- tvo tölustafi hlið við hlið (þetta er auðveldara verkefni og gæti kannski hentað sumum, kannski í byrjun)
- öðruvísi raðir (með 2 á milli, 3 á milli)
- öðruvísi tölur (ekki bara tölustafi) – en þá þarf að ræða hvernig á að búa til tölurnar: á að nota „talnahús“ eða skrifa tölurnar í röð – til dæmis að skrifa 252423 og 232425 ef tölurnar þrjár væru 23, 24 og 25. Þetta er ekki sama verkefnið, en er ekkert verra.
- hvort einhverjar reglur komi í ljós um samlagningu (og erfiðara: margföldun, eða enn erfiðara: deilingu).
- það er líka hægt að kanna deilanleika: sumir hafa tekið eftir því að 3 ganga upp í 198. Sama gildir um mismun þegar 2 er á milli, eða 3. Þetta mætti kanna nánar (með eldri unglingum).
- það er líka hægt að kanna önnur sætiskerfi með öðrum grunntölum. Þá breytist talnahúsið: ef grunntalan er til dæmis 5, þá eru sætin ekki hundruð (10×10), tugir (10) og einingar (1), heldur tákna þau 25 (5×5), fimmur (5) og einingar (1).
Bara með því að taka fyrsta punktinn hefur verkefnið verið opnað mjög mikið: nemendur velja sjálfir tölur til að prófa. Þeir alhæfa og rökstyðja í samhengi sem er stærðfræðilega djúpt og mikilvægt og gefur tækifæri til að kanna eiginleika tugakerfisins.
Samantekt
Reynt hefur verið að gefa innsýn í það hvernig vinna má með gefið stærðfræðiverkefni og gera úr því verðugt verkefni sem reynir á stærðfræðilega hugsun. Í verðugu stærðfræðiverkefni felst að gera tilgátur sem fela í sér alhæfingar og að rökstyðja þær. Eitt vinnuferli til þess að opna og útvíkka verkefni er að:
- Gera lista yfir eiginleika verkefnis og þeirra stærðfræðilegu fyrirbæra sem eru í því.
- Fara yfir listann og breyta eiginleikunum: hvað ef (ekki) … ?
- Skoða útkomur gegnum alhæfingar: er þetta alltaf svona? Hvaða eiginleikum má breyta þannig að það gildi samt alltaf það sama? Er hægt að beina athygli nemenda að þessum hlutum með vel völdum tölum, formum, fyrirbærum?
- Athuga hvort meginatriðið sé röksemdir og tengsl frekar en tómir reikningar.
Mynd 4: The art of problem posing.
Með því að taka verkefni úr fyrirliggjandi kennsluefni og þróa það áfram með þessari leið er hægt að aðlaga verkefni til að reyna á stærðfræðihugsun. Lesa má meira um þetta ferli í grundvallarbók Stephens Brown og Marion Walter, The art of problem posing (2005).
Heimildir
Alseth, B., Nordberg, G., Røsseland, M., og Hanna Kristín Stefánsdóttir. (2011). Stika 1a: nemendabók. Námsgagnastofnun.
Brown, S. I., og Walter, M. I. (2005). The art of problem posing. Lawrence Erlbaum.
Ingólfur Gíslason. (2023). Um verkefnið Vélmenni á talnalínu. Flatarmál – Málgagn Flatar, samtaka stærðfræðikennara 6. janúar 2023. https://flatarmal.is/um-verkefnid-velmenni-a-talnalinu/
Ingólfur Gíslason, aðjunkt við Menntavísindasvið Háskóla Íslands