Ingólfur Gíslason.
Samræður við gervinemanda um vitneskjurökþrautir.
Þessi grein fjallar um:
- það hvernig kennsla getur falið í sér að beina athygli nemenda að tilteknum atriðum sem skipta máli og fá þau til þess að endurhugsa svör sín (í stað þess að gefa þeim svarið eða hvað sé „rangt“ við svarið);
- það hvernig kennari getur notað gervigreind til að æfa sig í samræðum við gervinemanda;
- einkenni og eðli þrauta sem ég nefni hér vitneskjurökþrautir.
Ég gef fyrst dæmi um þraut og ræði lausn á henni. Ég beini svo athyglinni að samtali kennaranema við spjallmenni um samskonar þraut, þar sem kennaraneminn leiddi spjallmennið að lausn þrautarinnar. Í gegnum samtalið og umfjöllun um þrautirnar kemur í ljós hve mikilvægt það er fyrir kennara að geta beint athygli nemanda að atriðum sem skipta máli í verkefni án þess að taka hugsunina yfir.
Ein af eftirlætisþrautum pabba míns, sem hafði mikinn áhuga á stærðfræði, var eftirfarandi:
Prestur og djákni fóru út að ganga og mættu þremur mönnum. Þá spurði prestur djákna: „Hve gamlir eru þessir menn?“ „Margfeldi af aldri þeirra allra er 2450, en samanlagður aldur þeirra jafn aldri yðar.“ Þá segir prestur: „Þetta er ekki nóg.“ „Satt er það,“ segir djákni. „En ég er eldri en sá sem er þeirra elstur.“ Þá gat prestur ráðið þrautina. Hve gamlir eru presturinn, djákninn og mennirnir þrír?
Hér koma tvær ráðleggingar. Í fyrsta lagi er ekki ráðlegt að lesa greinina áfram án þess að reyna við þrautina. Í öðru lagi er ekki ráðlegt að reyna að leysa þrautina án þess að hafa skriffæri við höndina og það skemmir ekki gildi þrautarinnar að nota reiknivél. Ef þú hefur áhuga á efni þessarar greinar þá er mikilvægt að reyna við þrautina (og aðrar þrautir í greininni) sjálf til að öðlast beina reynslu af efninu. Í næstu efnisgrein er lausn þrautarinnar lýst og hér er því síðasta tækifærið til að reyna við þrautina.
Við fyrstu sýn á þrautina er ljóst að við verðum að finna þrjár tölur þannig að margfeldi þeirra sé 2450. Sem betur fer er hægt að frumþátta náttúrlegar tölur á einkvæman hátt og komast að því að 2450 = 2 x 5 x 5 x 7 x 7. Þetta hjálpar okkur að skrá alla möguleika, en fyrirfram séð gætu líka einn eða fleiri mannanna þriggja verið eins árs, sem fjölgar möguleikunum. Nokkrir möguleikar eru þá 2 x 25 x 49, 1 x 50 x 49 og 10 x 35 x 7. Það eru reyndar nokkuð margir möguleikar, 21 alls.
En lesum nú aðeins áfram. Presturinn fær að vita samanlagðan aldur mannanna (hann þekkir sinn eigin aldur) en það dugar honum ekki til að leysa þrautina. Það hlýtur að þýða að einhverjir möguleikanna á margfeldinu gefi sömu summuna. Það er ekkert annað að gera en að reikna allar summurnar. Þá kemur í ljós að aðeins ein summa er endurtekin, 5 + 10 + 49 og 7 + 7 + 50 gefa samtals 64. Við vitum þá að presturinn er 64 ára.
En hvernig skerum við nú úr um aldur hinna? Við fáum að vita að djákninn sé eldri en sá sem er þeirra elstur en þær upplýsingar virðast ekki hjálpa mjög mikið við fyrstu sýn. Gæti djákninn ekki verið til dæmis sextugur? Það á við um hvora tveggja möguleikanna. En þá kemur til að við fáum að vita að presturinn gat ráðið gátuna og fyrst hann gat ráðið gátuna þá hlýtur djákninn að vera nákvæmlega 50 ára. Ef hann væri yngri kæmi það ekki heim og saman við upplýsingarnar en ef hann væri eldri hefði presturinn ekki getað ráðið gátuna. Svo eina mögulega niðurstaðan er að mennirnir séu 5, 10 og 49 ára, djákninn 50 ára og presturinn 64 ára.
Þrautin um aldur mannanna er dæmi um vitneskjurökþraut (e. epistemic logic puzzle). Vitneskjurökþraut einkennist af því að hún felur í sér að draga rökréttar ályktanir um og út frá vitneskju, þar með talið eigin vitneskju og vitneskju annarra, og sér í lagi vitneskju um vitneskju eða vitneskju um skort á vitneskju (Hamkins, 2019, leturbreytingar mínar).
Í þrautinni drógum við til dæmis ályktun út frá þeirri vitneskju okkar að presturinn vissi sinn eigin aldur og, sem er erfiðara að taka eftir, að sú vitneskja dugði honum ekki til að leysa gátuna. Svo drógum við ályktun út frá þeirri vitneskju að presturinn vissi aldur djáknans og (það sem er erfiðara að taka eftir) að sú vitneskja hans dugði til að leysa gátuna út frá vísbendingunni um að hann væri eldri en elsti maðurinn sem þeir mættu. Við þurfum sem sagt að nýta okkur upplýsingar um það hvaða ályktanir persónur sögunnar gátu dregið út frá sinni vitneskju.
En hvað hefur þessi gamla þraut að gera með gervigreind og það að beina athygli nemenda að einhverju? Í námskeiðinu Stærðfræðinám og -kennsla í efri bekkjum grunnskóla, vorið 2023, setti ég það verkefni fyrir kennaranema að leggja stærðfræðiverkefni fyrir ChatGPT spjallmennið og leiða það í átt að góðri lausn. Þegar spjallmennið er í hlutverki nemanda kalla ég það hér eftir gervinemanda. Eitt áhugaverðasta „samtalið“ átti sér stað um vitneskjurökþraut þar sem kennarinn reyndi ítrekað að beina (gervi)athygli gervinemandans að atriðum sem áttu að fá hann til að endurskoða svör sín og nálgun.
Verkefnið hljóðar svo: Í veislu heyrirðu gest spyrja um aldur barna gestgjafans sem á þrjú börn. Gestgjafinn segir gestinum að margfeldi aldurs barna sinna sé 72 en samanlagður aldur þeirra sé sama tala og númerið á húsi gestsins. Nú veit gesturinn augljóslega sitt eigið húsnúmer, en eftir að hafa hugsað í smá stund, biður hann gestgjafann um frekari upplýsingar til að geta komist að aldrinum. Gestgjafinn segir þá að elsta barni hans þyki jarðarberjaís góður. Þá gat gesturinn sagt til um aldur barnanna. Þótt þú vitir ekki húsnúmer gestsins, hefur þú fengið nægar upplýsingar. Gerum ráð fyrir að aldur sé alltaf gefinn upp í heilum árum. Hversu gamalt er elsta barnið?
Lesendur sjá væntanlega líkindin með fyrstu þrautinni. Lykilatriði er að beina athyglinni að vitneskju gestsins í þrautinni, hver hún gæti verið og hvaða ályktanir hann gat dregið af henni og hvaða ályktanir við getum dregið af því. Það tók 13 umferðir að fá gervinemandann til að finna svarið, og sýndi kennaraneminn í því samtali mikla útsjónarsemi og þolinmæði. Í fyrstu tilraun bjó gervinemandinn til lista yfir nokkra möguleika á að fá út 72 með margfeldi þriggja talna en birti síðan setningar sem líta á yfirborðinu út fyrir að geta verið viðeigandi en eru þegar nánar er að gáð tóm steypa, og endar til dæmis á því að segja:
Gervinemandi: Ef summan væri 14 er bara einn möguleiki: 2 + 2 + 9. Elsta barn gestgjafans hlýtur að vera 9 ára því að það er eini aldurinn sem kemur fyrir í einungis einni samsetningunni.
Þessu svarar kennaraneminn með því að reyna að beina athygli spjallmennisins að vitneskju gestsins í þrautinni:
Kennaranemi: Reyndu að hugsa um það að gesturinn þurfti á annarri vísbendingu að halda. Það segir okkur að þó að gesturinn viti húsnúmerið þurfti hann samt á annarri vísbendingu að halda.
Gervinemandinn svarar þessu fyrst vel og segir að þetta þýði þá að það hljóti að vera einhverjar fleiri en ein aldurssamsetning möguleg út frá margfeldinu. Svo fer hann út af sporinu og missir yfirsýn um alla möguleikana og vinnur út frá möguleikum sem ganga ekki upp út frá fyrstu upplýsingunum, og dregur svo þá ályktun að elsta barnið sé sex ára og hin séu sex ára og tveggja ára (já þú last rétt).
Kennaraneminn tekur tvær umferðir eftir þetta til að fá gervinemandann til þess að gera tæmandi og réttan lista yfir möguleika og fá hann til þess að segja að börnin séu örugglega annaðhvort 3, 3 og 8 ára eða 2, 6 og 6 ára, því þeir möguleikar gefa sömu summuna, 14 (og engar aðrar tvær samsetningar gefa sameiginlega summu). Þá taka við sex umferðir í viðbót þar sem gervinemandinn fer í marga skrítna hringi með það hvort annar tvíburinn sé eldri en hinn.
Gervinemandi: Ef tvíburarnir eru elstu börnin, þá vitum við að annar tvíburinn er eldri en hinn, en við vitum ekki hvor. Hins vegar, ef barnið sem er ekki tvíburi er yngst, þá verður eldri tvíburinn að vera sá sem þykir jarðarberjaísinn góður. Þetta er vegna þess að gestgjafinn hefði ekki vísað til yngri tvíburans sem elsta barnið ef til er eldri tvíburi. Þess vegna getum við í þessu tilviki ályktað að elsta barnið sé eldri tvíburinn, og hinn tvíburinn og barnið sem er ekki tvíburi séu bæði 6 ára.
Kennaranemi: Hvað ef ég segi þér að við lítum alltaf svo á að tvíburar séu jafn gamlir?
Takið eftir því að þarna beindi kennaraneminn athyglinni að atriði sem skiptir máli, án þess að gefa lausnina eða segja beint út hvað sé rangt við svar gervinemandans. Í tíundu umferð tekur kennaraneminn svo saman fyrir gervinemandann að möguleikarnir séu 3, 3 og 8, og 2, 6 og 6 og beinir athyglinni enn að vísbendingunni:
Kennaranemi: Við vitum út frá vísbendingunni um ísinn að eitt barn er elsta barnið, svo í hvaða möguleika er pottþétt elsta barn?
Þetta dugar ekki alveg til þangað til að í lokin spyr kennaraneminn einfaldrar spurningar.
Kennaranemi: Ég held að þú sért að ofhugsa þetta, hve gamalt er elsta barnið ef það eru þrjú börn sem eru 3, 3, og 8 ára?
Eftir þetta gat gervinemandinn gert nokkuð góða grein fyrir lausninni í heild sinni, þegar hann var beðinn um það. Hér getum við tekið eftir því að vandræði gervinemandans voru á þessum kafla frábrugðin vandræðum dæmigerðs mannlegs nemanda, sem hefði ekki þurft langar umræður til að fallast á það þá forsendu að tvíburar teljist jafn gamlir og líklega ekki heldur langar umræður til að átta sig á því að vísbendingin feli í sér að eitt barnið hljóti að vera eldra í árum talið en hin tvö.
Á hinn bóginn er líklegt að margir mannlegir nemendur gætu haft gagn af því að athygli þeirra sé beint að atriðum eins og því að gesturinn þurfti á annarri vísbendingu að halda til að geta ályktað um aldur barnanna. Þannig var samtalið við gervinemandann tækifæri til þess að æfa nákvæmlega þessa samræðuathöfn: að beina athygli nemanda að atriðum sem skipta máli og fá þau til þess að endurhugsa svör sín.
Spjallmenni eiga erfitt með að „átta sig“ á vitneskjurökþrautum, nema ef til vill að þær séu vel þekktar og bornar upp á mjög svipaðan hátt og þær hafa verið settar fram í textum. Munum að spjallmenni búa til sín svör á vélrænan hátt út frá líkindaútreikningum sem byggja á gríðarlegu magni af texta af netinu. Ef þrautinni hefur verið svarað á mörgum vefsíðum er líklegt að spjallmennið einfaldlega „þekki“ þrautina aftur, ef hún er sett fram orðrétt. En örlitlar breytingar á vitneskjurökþrautum geta „ruglað“ spjallmennið – sem er betra ef ætlunin er að æfa sig að tala við raunverulegan nemanda.
Þrautirnar sem kynntar hafa verið í þessari grein eru ekki bara um rökréttar ályktanir um og út frá vitneskju. Þær eru líka um talnafræði. Að lokum er hér ein þraut þar sem minni áhersla er á stærðfræði (en þó koma tölur við sögu).
Ég hvíslaði tölum að Lísu og Bjarna. Hvort þeirra fékk að heyra eina náttúrlega tölu (heila jákvæða tölu). Þau fengu að vita að tölurnar þeirra væru ólíkar. Ég spurði þau svo hvort þau vissu hvort þeirra hefði fengið stærri tölu. Þá tók við eftirfarandi samtal:
Lísa: Ég veit það ekki.
Bjarni: Ég veit það ekki heldur.
Lísa: Ég veit það ekki ennþá.
Bjarni: Og ég stend alveg á gati.
Lísa: Nú, fyrst þú segir það, þá veit ég allt í einu hvort okkar er með stærri tölu!
Bjarni: Í alvöru? Þá veit ég báðar tölurnar!
Lísa: Og þá veit ég líka báðar tölurnar!
Hvaða tölum hvíslaði ég að þeim?
Heimildir
Hamkins, J. D. (25. september 2019). I know that you know that I know that you know…. Oxford, October 2019. Joel David Hamkins. https://jdh.hamkins.org/i-know-that-you-know-that-i-know-that-you-know-oxford-october-2019/
Ingólfur Gíslason, aðjunkt við
Menntavísindasvið HÍ
