Dóróthea Margrét Einarsdóttir.
Fyrir nokkrum misserum fann ég í geymslunni bunka af gömlum námsbókum frá því ég var í grunnskóla. Ein þeirra vakti sérstaka athygli mína en það var lúið hefti í stærðfræði. Utan á heftinu stóð, með fallega skreyttum stöfum, nafnið mitt. Fyrir neðan það stóð ,,Stærfræði“ og þar fyrir neðan hafði verið bætt við ,,er leiðinleg“. Mér brá nokkuð við vegna þess að mér finnst stærðfræði þvert á móti mjög skemmtileg og mundi ekki eftir því að hafa nokkurn tímann þótt hún leiðinleg. Og þó, það var jú þetta með almennu brotin sem ég skildi aldrei almennilega. Orðadæmin voru líka alltaf frekar erfið. Tugabrotin sem ég missti af. Rúmfræðin sem ég átti erfitt með að sjá fyrir mér.
Eitt og annað rifjaðist upp þegar betur var að gáð. Ég var ein af þessum nemendum sem átti auðvelt með að muna hluti utanbókar, læra aðferðina og muna svo í prófinu hvað átti að gera og í hvaða röð. Ég var aftur á móti ekki fljót að ,,fatta“ hluti og ekki fljót að reikna í huganum, þá var nú betra að leggja þetta bara á minnið. Þannig gekk mér oftast ágætlega í stærðfræði, en upplifunin var samt ekki alltaf jákvæð. Þegar leið á skólagönguna fór svo að verða erfiðara að herma eftir sýnidæmum og læra flóknar aðferðir án þess að skilja þær. Þá upplifði ég oft bæði pressu og pirring þegar kennarinn var að útskýra eitthvað og ég skildi ekki það sem hann var að segja. Pressu á að vera fljót að ná hlutunum og pirring yfir því að geta það ekki. En, ég skrifaði niður það sem stóð á töflunni og hermdi svo eftir sýnidæmunum og þá gekk þetta nú oftast þokkalega.
5. bekkjar
Í minni skólastofu vil ég leggja áherslu á að nemendur hugsi frekar en hermi, tali saman og rökræði, ég vil að þau giski án þess að vita, ég vil líka að þau giski vitlaust og skilji ekki, ég vil að þau komi með tillögur án þess að vera dæmd, rökstyðji og útskýri fyrir hvert öðru og byggi þannig upp sameiginlegan skilning á stærðfræðilegum fyrirbærum og aðferðum. Ég vil ekki að þeim finnist þau þurfa að vera fljót að ná einhverju, fljót að reikna eða fljót að hugsa. Ég vil ekki að þau upplifi að þau þurfi að segja rétta svarið, vita réttu leiðina og að hæst sé klappað fyrir þeim sem eru nógu snögg að því. Svo vil ég náttúrulega ekki að þau séu að hanga áhugalaus í símunum sínum eða tölvunni. Ég vil að þau séu virk, áhugasöm, spennt og æst í að glíma við stærðfræðilegar spurningar.
Þegar ég kynntist aðferðum hugsandi skólastofu fann ég þessum gildum mínum í kennslu farveg. Því meira sem ég skoðaði þetta því heillaðri varð ég af nálguninni. Smátt og smátt fór ég að pikka upp atriðin, útfæra og innleiða í mína kennslu.
Hvað er hugsandi skólastofa?
Hugsandi skólastofu má rekja til stærðfræðimenntunarfræðingsins Peter Liljedahl sem hefur rannsakað og þróað hugmyndafræði sem byggir á að skapa rými þar sem hugsun er í fyrirrúmi. Í hugsandi skólastofu vinna nemendur að verkefnum sem krefjast hugsunar og byggja þannig sameiginlega upp skilning á nýjum hugtökum og hugmyndum í gegnum samræður sín á milli og við kennara. (Liljedahl, 2020).
Peter hefur nýtt niðurstöður rannsókna sinna til að setja saman lista af 14 praktískum leiðum til að byggja upp hugsandi skólastofu. Í bók sinni Building thinking classroom frá 2020 fer hann ítarlega í gegnum atriðin 14 og hvernig útfæra má þau í kennslu en hér er stiklað á stóru:
1. Verðug verkefni sem krefjast hugsunar – Verkefni sem nemendur fást við verða að vera sett þannig fram að ekki sé hægt að leysa þau án þess að hugsa, vinna saman, rökræða, koma með tillögur, kanna, rannsaka o.s.frv.
2. Sýnilega slembnir hópar – Dregið er í tveggja til þriggja nemenda hópa á handahófskenndan hátt og lykilatriði er að nemendur séu vitni að því að valið sé slembið. Nýir hópar eru myndaðir í upphafi hverrar kennslustundar.
3. Lóðréttir útstrokanlegir fletir – Nemendur vinna verkefnin sín standandi við tússtöflur eða aðra fleti sem má auðveldlega stroka út af. Hver hópur fær einn penna sem látinn er ganga milli nemendanna.
4. Sviðsljósið kvatt – Kennarinn ávarpar hópinn úr mismunandi áttum og uppröðun í stofunni er án sviðs, nemendaborðum raðað í eyjur sem hægt er að ganga í kringum.
5. Aðeins spurningum sem leiða til áframhaldandi hugsunar er svarað – Nemendur eru hvattir til að spyrja hvert annað frekar en kennarann. Kennarinn hlustar á þann sem spyr en gefur aðeins það upp sem nemendurnir þurfa að heyra til að hugsun þeirra geti haldið áfram.
6. Stutt munnleg fyrirmæli í upphafi kennslustundar – Verkefnum er ekki dreift skriflega heldur kynnir kennari þau munnlega í eins stuttu máli og hægt er.
7. ,,Gáðu hvað þú kannt núna“ verkefni – Sem heimavinnu eða í lok kennslustunda fá nemendur verkefni sem reyna á þau námsmarkmið sem undir eru hverju sinni og gefa nemendum upplýsingar um hvar þau standa.
8. Nemendasjálfstæði – Nemendur aðstoða hvert annað, þau taka sameiginlega ábyrgð á að allir í hópnum skilji það sem um er að vera. Þau leita til annarra eftir aðstoð og áliti.
9. Vísbendingar og útvíkkanir við hæfi – Kennari gefur vísbendingar og útvíkkar verkefnin þannig að hver nemandi fá hæfilega áskorun hverju sinni, ekki of auðvelda og ekki of erfiða.
10. Samantekt – Í lokin tekur kennarinn umræður með öllum um það sem nemendur hafa verið að fást við og festir þannig sameiginlegan skilning á námsefninu. Hér fyrst eru kynnt til sögunnar ný hugtök og aðferðir sem nemendur hafa þá þegar upplifað og mótað í vinnu sinni.
11. Glósur fyrir framtíðarsjálf – Nemendur eru hvattir til að punkta niður atriði og glósa það sem þau hafa unnið í tímanum með það í huga hvað muni nýtast þeim síðar.
Atriði 12 – 14 fjalla um hvernig námsmati er háttað í hugsandi skólastofu. Lögð er áhersla á að nýta leiðsagnarmat til að sjá stöðu og stefnu nemandans hverju sinni. Mikilvægt er að námsmat byggi á gögnum og að verið sé að meta þau atriði sem okkur þykja eftirsóknarverð í hugsandi skólastofu.
Til að byrja með hvetur Peter kennara til þess að tileinka sér aðeins efstu þrjú atriðin á listanum og fikra sig síðan neðar smátt og smátt. Mörgum kennurum finnst í upphafi flókið að finna nógu verðug verkefni sem krefjast hugsunar. Maður kemst þó fljótt upp á lag með að umorða hefðbundin verkefni, til dæmis úr kennslubókum, í verðug verkefni sem krefjast hugsunar. Oft er lykillinn fólginn í því að byrja á dæmi sem allir ráða við og fikra sig svo í hæfilegum skrefum í átt að námsmarkmiðinu hverju sinni. Í öllum tilfellum ætti að setja fram verkefni án þess að búið sé að kenna aðferðina til þess að leysa það. Gott er að hafa í huga að markmiðið með hugsandi skólastofu er ekki að finna upp nógu áhugaverð verkefni fyrir nemendur til að hugsa um heldur byggja upp áhugasama nemendur sem eru tilbúnir til að hugsa um hvaða verkefni sem er.
Dæmi um verkefni
Ég læt fylgja með sem dæmi nokkur verkefni sem ég hef notað. Athugið að verkefnin voru ekki lögð fyrir skriflega heldur munnlega en ég skrifa þau hér upp nokkurn veginn eins og ég lagði þau fyrir.
Verkefni sett fyrir áður en fjallað er um vísisföll
1. Ónefndur stærðfræðikennari er orðinn langþreyttur á viðvarandi metnaðarleysi nemenda sinna og ákveður að múta þeim til þess að læra heima á hverjum degi í heilan mánuð. Nemendurnir fá að velja um það að fá 100.000.000 kr. í lok mánaðarins eða að fá greidda 1 kr. fyrir fyrsta dag, 2 kr. fyrir næsta dag og svo ávallt tvöfalda upphæð næsta dag út mánuðinn.
a) Hvora leiðina mynduð þið velja?
b) Hve langt þyrfti tímabilið að vera til þess að þið mynduð velja hina leiðina?
2. Þú leggur 1 kr. inn á bankareikning sem hefur 100% vexti á ári. Hvað áttu mikið í lok árs ef vextirnir eru reiknaði
a) einu sinni á ári?
b) tvisvar á ári?
c) þrisvar á ári?
d) fjórum sinnum á ári?
e) sex sinnum á ári?
f) mánaðarlega?
g) vikulega?
h) daglega?
i) tvisvar á sólarhring?
j) fjórum sinnum á sólarhring?
k) á klukkustundar fresti?
l) á mínútu fresti?
m) á sekúndu fresti?
Mynd 4 a, b, c: Nemendur ræða saman um afleiður hornafalla. Hér fékk hver hópur úthlutað einhvers konar sínus eða kósínus falli og áttu að athuga hvort hallatala þeirra fylgdi mynstri. Endanleg niðurstaða fékkst ekki fyrr en hóparnir höfðu skoðað töflur hjá öðrum til samanburðar
Verkefni sett fyrir áður en fjallað er um lograföll
Skoðum aðeins töluna 10 og athugum hvað gerist þegar við setjum hana í veldi.
a) Í hvaða veldi þarf að setja töluna 10 til þess að fá út 1000?
b) Í hvaða veldi þarf að setja töluna 10 til þess að fá út 10000?
c) Í hvaða veldi þarf að setja töluna 10 til þess að fá út 10?
d) Í hvaða veldi þarf að setja töluna 10 til þess að fá út 1?
e) Í hvaða veldi þarf að setja töluna 10 til þess að fá út 0,1?
f) Í hvaða veldi þarf að setja töluna 10 til þess að fá út 0,01?
g) Í hvaða veldi þarf að setja töluna 10 til þess að fá út 0?
h) Í hvaða veldi þarf að setja töluna 10 til þess að fá út 2?
Hér er einfaldlega verið að láta nemendur fá hefðbundið dæmi án þess að kenna þeim aðferðina. Fyrstu dæmin eru flestum auðveld en svo flækist málið iðulega í g) og h) lið. Á þessum tímapunkti þekkja þau ekki log takkann á reiknivélinni og dettur ekki í hug að nota hann heldur fara að giska. Þá er oft kappsmál að athuga hversu nálægt þau komast útkomunni sem þau vilja.
Verkefni sett fyrir áður en regla um fjarlægð punkts frá línu er sett fram
a) Hugsum okkar að línan y=3 sé marklína í hlaupakeppni og punkturinn (-6,-1) sé hlaupari.
Hvað er langt frá hlauparanum í marklínuna?
b) Hugum okkur að línan y=x sé marklína í hlaupakeppni og punkturinn (4,0) sé hlaupari.
Hvað er langt frá hlauparanum í marklínuna?
c) Hugsum okkur að línan 7x+2y+5=0 sé marklína í hlaupakeppni og punkturinn (2,3) sé hlaupari.
Hvað er langt frá hlauparanum í marklínuna?
d) Hugsum okkur að línan ax+by+c=0 sé marklína og punkturinn (x0, y0) sé hlaupari.
Hvað er langt frá hlauparanum í marklínuna?
Fyrstu tveir liðirnir eru einskonar upphitun fyrir c) liðinn þar sem markmiðið er að búa nemendur undir útleiðslu á jöfnu fyrir fjarlægð punkts frá línu sem kemur í d) lið. Þau sem fengu þetta verkefni í tíma hjá mér gátu flest komið með einhverjar tillögur að því hvernig mætti byrja á c) lið en þurftu svo vísbendingar til að komast á leiðarenda. Aðeins einn hópur komst vel á veg með d) lið og gat fullmótað jöfnuna sem verið var að búa til.
Upplifun nemenda og kennara
Mín upplifun af aðferðum hugsandi skólastofu er sú að nemendur eru mun virkari, vinna betur saman, verja meiri tíma í að byggja upp skilning á námsefninu og eru áhugasamari og ræðnari heldur en þegar ég nota aðrar aðferðir. Mörg vilja helst bara vinna á tússtöflurnar og biðja um það af fyrra bragði. Öðrum finnst óþægilegt að vinna í hóp og eiga erfiðara með samskipti. Flest virtust þó pluma sig ágætlega og ekki verr heldur en að sitja ein við borð með blað og blýant eða tölvu.
Í vor þegar nemendur mínir voru u.þ.b. hálfnuð með áfanga um föll og deildun tók ég bæði samtal við þau um hugsandi skólastofu og lagði fyrir stutta viðhorfskönnun. Þá hafði sami hópur verið hjá mér önnina á undan í vigrum og hornaföllum og höfðu því fengið dágóða æfingu í mörgum þáttum sem eru ólík því sem gæti kallast hefðbundin kennslustofa.
Spurð hvað þau gætu sagt jákvætt um þessa kennsluaðferð nefndu þau eftirfarandi atriði:
- ,,Maður talar meira við samnemendur sem maður hefði kannski aldrei annars talað við“
- ,,Það er léttara að leysa dæmi með öðrum“
- ,,Það er bæði skemmtilegra og ég læri betur“
- ,,Þú færð fleiri álit á verkefninu“
- ,,Mér finnst auðveldara að skilja námsefnið og skemmtilegra að leysa það“
- ,,Að geta séð hjá öðrum þegar maður er í basli við dæmi og fá hugmynd um hvernig á að leysa það“
- ,,Það lætur mann hugsa meira um efnið“
- ,,Það er meira grípandi“
Þegar þau voru beðin um að nefna það sem þeim þætti neikvætt við kennsluaðferðina komu eftirfarandi atriði:
- ,,Maður er ekki með öll dæmin skráð í bókina“
- ,,Lenda með ömurlega tússa“
- ,,Þegar maður fær ekki að velja í hóp“
- ,,Að þurfa að reikna dæmin aftur í stílabók“
- ,,Stundum lendir maður í því að vera basically að gera allt einn af því að aðilinn sem maður er með skilur ekki neitt“
Það kom mjög skýrt fram að nemendur vildu heldur fá að velja sjálf í hópa en að valið væri handahófskennt og mesta tregðan var klárlega gagnvart þessu atriði. Þau skildu þó alveg hvers vegna ég vildi heldur skipta handahófskennt og létu sig alveg hafa það þó þau væru ekki alltaf sátt við hópfélagana.
Ég mæli hiklaust með að kennarar nýti sér aðferðir hugsandi skólastofu hafi þeir tök á því. Það er auðvitað ekki hægt að éta hvalinn í einum bita en um að gera að byrja smátt og bæta svo við. Hafirðu ekki aðgang að tússtöflum má til dæmis kaupa sellófan í örkum sem loðir við slétta veggi, einfalt er að draga nemendur slembið í hópa til dæmis með spilastokki og þá er lítið mál að standa annars staðar í stofunni og gefa fyrirmæli munnlega. Önnur atriði þarfnast þjálfunar en eftir því sem á líður slípast bæði kennari og nemendur til og hugsun, umræða og samvinna verður að normi í stærðfræði, jafnsjálfsagt og að reikna dæmi. Góða skemmtun!
Dóróthea Margrét Einarsdóttir, stærðfræðikennari og aðstoðarskólameistari Menntaskólans á Ísafirði
Heimild:
Liljedahl, P. (2020). Building thinking classrooms in mathematics, grades k-12: 14 teaching practices for enhancing learning. Corwin.
Fleiri greinar um hugsandi skólastofu má finna hér:
Áslaug Dóra Einarsdóttir. (2021). Hugsandi skólastofa. Flatarmál 28(1), 13-16. https://www.ki.is/media/ajalm0oy/flatarmal2021-v9.pdf
Eyþór Eiríksson. (2023, 4. september). Að byggja upp hugsandi skólastofu. Flatarmál. https://flatarmal.is/ad-byggja-upp-hugsandi-skolastofu/
Guðbjörg Pálsdóttir. (2019). Vinnustofa Peter Liljedahl. Flatarmál 26(1), 22-24. https://www.ki.is/media/t2pp11hj/flatarmal_2019_1tbl.pdf
Ingólfur Gíslason. (2018). Hvatt til hugsunar í stærðfræði. Flatarmál 25(1), 24-25. https://www.ki.is/media/rzfdrri3/flatarmal_2018_1tbl.pdf