Sveigjanleiki og aðlögunarhæfni í reikniaðferðum: Skiptir máli hvernig nemandinn reiknar? 

Síðan á tíunda áratug síðustu aldar hefur verið víðtæk sátt meðal sérfræðinga í stærðfræðimenntun um að aðlögunarhæfni (e. adaptivity) og sveigjanleiki (e. flexibility) séu mikilvæg markmið í stærðfræðikennslu (Baroody, 2003; Hickendorff o.fl., 2018; Xu o.fl., 2017). Í löndum eins og Bandaríkjunum, Ástralíu, Singapúr (Rittle-Johnson o.fl., 2012), Hollandi (Hickendorff, 2018), Belgíu (Torbeyns o.fl., 2018) og einnig Danmörku (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019a) er slík hæfni skrifuð inn í stærðfræðinámskrár landanna. Í dönsku námskránni, Fælles Mål frá 2019 er lögð áhersla á mikilvægi þess að stærðfræðikennarinn hvetji og styðji nemendur sína á þann hátt að þeir þrói reikniaðferðir sínar á grundvelli talnaskilnings fremur en að læra að nota hefðbundin reiknirit og æfa notkun þeirra (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019a, bls. 37). Þetta felur í sér að nemendur þurfa að þróa skilning á mörgum mismunandi aðferðum til að leysa verkefnin.

Reikniaðferðir sem byggja á meðferð talna eða tölustafa

Í þessari grein er hugtakið reikniaðferðir notað sem þýðing á danska hugtakinu regnestrategi sem skilgreint er sem röð aðgerða í lausnarferlinu, sem byggja á hvernig tölurnar eru meðhöndlaðar í hverju dæmi fyrir sig. Til dæmis við lausn verkefnisins 482 + 218, munu þeir sem mikið hafa unnið með 100 vini sjá að 82 + 18 = 100 og að 400 + 200 = 600, sem nýta má sem reikniaðferð þar sem tekið er mið af þeim tölum og reikniaðgerð sem unnið er með. 

Reikniaðferðir geta þannig bæði verið talnatengdar reikniaðferðir og aðferðir sem einungis eru bundnar við meðhöndlun tölustafa, eins og í hefðbundnu reikniriti. Það er reginmunur á talnatengdum reikniaðgerðum sem geta byggt á mismunandi leiðum sem hægt er að breyta og aðlaga að einstökum aðstæðum, allt eftir eiginleika þeirra talna og þeim reikniaðgerðum sem unnið er með ásamt reikniaðgerðum (sjá t.d. Ostad, 1997; Siegler og Jenkins, 1989; Verschaffel o.fl., 2007) og aðferðum sem byggja einungis á meðferð tölustafa [e. digit-based]. 

Hefðbundin reiknirit í samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu eins og flestir hafa lært eru dæmi um aðferðir sem byggja á meðhöndlun tölustafa. Þau eru byggð upp af föstum og óbreytanlegum skref-fyrir-skref aðferðum (Siegler og Jenkins, 1989), þar sem einmitt er aðeins unnið með gildi hvers tölustafs fyrir sig. Notkun hinna hefðbundnu reiknirita krefst því ekki að litið sé á sætisgildi þeirra talna sem unnið er með, og hægt að læra reikniritið utanbókar og jafnvel án skilnings á þeim reikniaðgerðum sem unnið er með.

Talnatengdu aðferðirnar byggja aftur á móti á því að skilja tölur og eiginleika reikniaðgerða og aðlaga að þeim aðstæðum sem unnið er með hverju sinni. Því ber að líta á tölurnar og meta áður en aðferð við hæfi er valin. Aðferðirnar krefjast skilnings á því hvernig hægt er að skipta í einingar, tugi, hundruð o.s.frv., til dæmis að 384 = 300 + 80 + 4, og skilnings á stærð talnanna og staðsetningu á talnalínunni, til dæmis að 199 er einum minni en 200 , þ.e. 199 = 200 – 1. Dæmi um talnatengdar aðferðir og aðferðir sem byggja einungis á tölustöfum, má sjá í töflu 1.

1. Reikniaðferðir byggðar á talna- og hugtakaskilningi

Flýtileiðir

Aðrar aðferðir byggðar á talna- og hugtakaskilningi

2. Aðferðir byggðar á reikningi með tölustöfum

Hefðbundin reiknirit

Aðrar aðferðir sem byggja á reikningi með tölustöfum

Tafla 1. Dæmi um reikniaðferðir byggðar á talna- og hugtakaskilningi [e. number-based strategies] og aðferðir er byggja á reikningi með tölustöfum. 

Aðlögunarhæfni og sveigjanleiki

Aðlögunarhæfni í vali á viðeigandi aðferðum, má skoða frá þremur mismunandi sjónarhornum (Verschaffel o.fl., 2007). Fyrsta sjónarhornið, sem er megináherslan í þessari grein, er verkefnatengd aðlögunarhæfni. Hér eru reikniaðferðirnar valdar eða aðlagaðar þannig að þær henti best því verkefni (dæmi) sem unnið er með. Þannig er verkefnið gert einfaldara, í formi færri skrefa og einfaldra útreikninga, þ.e. með því að nota svokallaða flýtileiðir (e. shortcut) (Torbeyns o.fl., 2009; Xu o.fl., 2017). Dæmi er notkun aðlögunar að verkefnum sem hafa 9 einingar, t.d. 199 + 323 = 200 + 323 – 1 = 522 eða við óbeina samlagningu (að fylla upp) fyrir frádrátt með tveimur tölum með litlum mun, t.d. 103 – 98 = 2 + 3 = 5. Hin tvö sjónarhornin á aðlögunarhæfni eru einstaklingsvitræn (e. cognitive), þ.e. þegar val aðferðar tengist því hvað er hraðvirkast og öruggast fyrir einstaklinginn og loks menningarsjónarmið, þ.e. hvað er viðurkennt í því (bekkjar)umhverfi sem nemandinn er í (Verschaffel o.fl., 2009).

Dönsk námskrá og reikniaðferðir í sögulegu samhengi

Eins og í alþjóðasamfélaginu er umræðan um sveigjanleika í reikniaðferðum ekki ný í dönsku samhengi. Kennsla í sveigjanlegum reikniaðferðum með áherslu á talnatengdar aðferðir hefur verið hluti af markmiðum í stærðfræðikennslu síðan árið 2001 sem tilgreind eru í Klare mål (Undervisningsministeriet, 2001).

Það leikur því enginn vafi á því að ráðleggingar gefnar út af danska menntamálaráðuneytinu undanfarna áratugi hafa verið tengdar þróun talnatengdra reikniaðferða og styður danskt námsefni oftast við þær áherslur (Jóelsdóttir, 2023 bls. 112). Þrátt fyrir breyttar áherslur frá síðustu öld, þegar færni í notkun hefðbundinna reiknirita var allsráðandi hefur skort þekkingu á því hvernig danskir nemendur reikna, og hvort tengsl séu á milli vals á reikniaðferðum, í formi sveigjanleika og aðlögunarhæfni, og stærðfræðihæfni nemenda. Ef við skoðum þau fjögur dæmi í reikningi með heilum tölum í reikniaðgerðunum fjórum sem hefð er að birtist í lokaprófi 9. bekkjar í stærðfræði (10. bekkur í íslensku skólakerfi), má sjá í færnihluta prófsins frá maí 2019, að 30% ná ekki að reikna rétt frádráttardæmið 701 – 149 og tilsvarandi 31% geta ekki leyst rétt deilingardæmið 7021 : 7 (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019b). Bæði verkefnin hafa þá eiginleika að styðja við notkun talnamiðaðra reikniaðferða (sjá töflu 1). Hér eru einnig hentugar flýtileiðir í boði, sem eiga það sameiginlegt að hafa fækkað þrepum í útreikningi samanborið við notkun hefðbundinna reiknirita. Ef við skoðum nánar dæmigerð röng svör kemur ákveðið mynstur í ljós. Fyrir verkefnið 701 – 149 eru fjögur af fimm algengustu röngu svörunum 462, 562, 648 og 652 eða samanlagt tæpur helmingur allra rangra svara (8750 nemendur) og 13,6% allra lausna (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019b). Þessi röngu svör eiga það sameiginlegt að geta verið afleiðing dæmigerðra villna þegar hefðbundið reiknirit er notað (tafla 2).

Tafla 2. Frádráttur á lokaprófi eftir 9. bekk, maí 2019. Yfirlit yfir fjögur af fimm algengustu röngu svörum við 701 – 149, ásamt mögulegri leið að röngu svari. N = 64 331.

Niðurstöðurnar styðja tilgátu um að þrátt fyrir tilmæli í leiðbeiningum með námskrá noti danskir ​​nemendur talnatengdar aðferðir í takmörkuðum mæli, en noti hefðbundin reiknirit. Niðurstöður á greiningu á deilingarverkefnum frá 2011, 2016 og 2019, sýna hvernig einföld villa getur orðið þegar nemendur muna ekki aðgerðaröðina í reikniritinu þegar 0 er ein af tölunum í dæminu. Eiginleikar verkefnisins styðja sem fyrr við notkun flýtileiða og að hægt sé að einfalda lausnarferlið með talnatengdri aðferð, hér t.d. með því að brjóta töluna upp á viðeigandi hátt; 700 – 150 = 550, 550 + 2 = 552 og 7000 : 7 = 1000 og 21 : 7 = 3, 1000 + 3 = 1003.

Tengsl aðlögunarhæfni og sveigjanleika í reikniaðferðum og almennrar hæfni í stærðfræði

Í bæði alþjóðlegum og dönskum rannsóknum hefur verið sýnt fram á tengsl milli notkunar nemenda á talnatengdum reikniaðferðum snemma í námsferlinu og síðari þróunar hæfni í stærðfræði (Dowker, 2014; Ostad, 1997; Sunde, 2023; Vanbinst o.fl., 2014 ). Niðurstöður rannsókna Pernille Bødtker Sunde (2023)   sýna að nemendur í 1. bekk (2. bekkur í íslensku skólakerfi) sem leystu einföld dæmi þar sem lagðar eru saman tvær eins stafa tölur [e. single digit addition] með því að telja stóðu sig verr í 4. bekk bæði í textaverkefnum, almennum brotum og jöfnum í samanburði við nemendur sem notuðu þróaðri aðferðir í 1. bekk t.d. leystu dæmi eins og 8 + 7 = 8 + 8 – 1, 7 + 7 + 1, 8 + 2 + 5 eða með öðrum svipuðum reikniaðferðum sem byggja á talna- og aðgerðarskilningi nemenda.

Þrátt fyrir að sérfræðingar á þessu sviði séu sammála um mikilvægi þess að þróa margvíslegar aðferðir, þ.e. sveigjanleika í reikniaðferðum og getu til að velja ákjósanlegar aðferðir fyrir mismunandi aðstæður, þ.e. aðlögunarhæfni, eru takmarkaðar rannsóknir á þessu sviði. Einnig eru niðurstöður varðandi tengsl sveigjanleika í reikniaðferðum og frammistöðu í stærðfræði ekki skýrar (Verschaffel, 2023). Fyrir meira en 30 árum kynntu Hatano og Inagaki (1984) hugtökin sérfræðingar í aðlögun og sérfræðingar í verklagi (e. adaptive and rutine experts). Þeir bentu á að markmið stærðfræðikennslu hlyti að vera að þróa aðlögunarhæfni, sem feli í sér að nemendur geti aðlagað aðferðaval sitt að mismunandi og breyttum aðstæðum út frá skilningi sínum. Þó að verklagssérfræðingar, sem byggja á mikilli æfingu, hafi færni til að leysa ákveðin verkefni bæði fljótt og örugglega, skortir þá færni til að aðlagast nýjum aðstæðum á sveigjanlegan hátt (Hatano og Inagaki, 1984). 

Í doktorsverkefni mínu hef ég rannsakað þær reikniaðferðir sem danskir nemendur nota í samlagningu, frádrætti og margföldun með heilum stærri tölum (2-3 tölustafir), bæði með tilliti til mismunandi aldurshópa, kyns og annarra einstaklingsbundinna einkenna og tengsla milli aðlögunarhæfni og sveigjanleika í reikniaðferðum við stærðfræðihæfni nemandans.

Hvernig reikna danskir nemendur og skiptir máli hvernig þeir reikna?

Þátttakendur í doktorsrannsókn minni voru 2298 nemendur í 3., 6. og 8. bekk (sem er 4., 7. og 9. bekkur á Íslandi) og leystu þeir „Tri-phase Flexibility Assessment“ (TriFA), sem er matsverkefni í þremur þrepum (Xu et al, 2017, Jóelsdóttir og Andrews, 2023). TriFA var upphaflega þróað til að meta sveigjanleika í tengslum við jöfnur en er hér aðlagað að sveigjanleika í reikniaðferðum, með heilum tölum. Í þrepi eitt, leysa nemendur dæmin, (átta dæmi í 3. bekk, níu dæmi í 6. bekk og tólf verkefni í 8. bekk). Nemendur voru beðnir um að skoða vel tölurnar áður en þeir leystu dæmin. Ef þeir völdu að leysa verkefnið í huganum, voru þeir beðnir um að skrá með stærðfræðitáknum, rituðum texta eða teikningum hvernig þeir leystu dæmið, og ef nemandi leysti dæmið með blað/blýant, þá var nemandinn beðinn um að sýna útreikninga fyrir hvert skref í lausnarferlinu. Fyrsta þrepið er nýtt til að meta aðlögunarhæfni nemandans  þar sem notkun flýtileiða er metin sem tákn um aðlögun. Það er mikilvægt að geta þess að öll dæmin í TriFA eru hönnuð til að draga fram notkun flýtileiða er byggja á talna- og hugtakaskilningi nemandans t.d. 199 + 323, 103 – 98 og 12 x 15. Í næsta þrepi fengu nemendur fyrirmæli um að leysa sömu dæmin aftur en nú með nýjum aðferðum, eins mörgum og nemandinn var fær um, þó að hámarki 4 nýjar aðferðir (2 í 3. bekk). Nemendur voru aftur hvattir til að skoða vel tölurnar í hverju dæmi fyrir sig og þeim bent á að mögulegt er að leysa verkefnin í huganum og skrá leiðina eða að nota skriflega útreikninga.

Meginniðurstöður rannsóknarinnar eru birtar í Jóelsdóttir og Andrews (2023). Þar kemur fram að langflestir nemendur á öllum þremur aldursstigum sýna takmarkaða aðlögunarhæfni en 70% nemenda í 3. bekk, 45% í 6. bekk og 59% í 8. bekk nota aldrei flýtileiðir til að leysa dæmin, þrátt fyrir að dæmin séu hönnuð til að styðja við slíkar aðferðir og nemendur væru sérstaklega beðnir um að skoða vel tölurnar í hverju dæmi fyrir sig. Um 3% nemenda á hverju aldursstigi nýttu flýtileiðir við lausn flestra dæmanna eða 6-8 af 8 dæmum í 3. bekk, 7-9 af 9 dæmum í 6. bekk og 9-12 af 12 í 8. bekk. Niðurstöður úr þrepi 2 sýna sveigjanleika nemenda þ.e. hæfni til að leysa verkefni með fleiri aðferðum. Þær niðurstöður sýna að 49% nemenda í 3. bekk, 24% nemenda í 6. bekk og 21% nemenda í 8. bekk eru ekki færir um að leysa eitt dæmi með fleiri en einni aðferð, en 9% nemenda í 3. bekk, 14% nemenda í 6. bekk og 15% nemenda í 8. bekk leysa (6-8/7-9/9-12) dæmi með fleiri en einni aðferð.

Af þessum tölum má sjá að nemendur í 6. bekk sýna meiri aðlögunarhæfni samanborið við nemendur í 3. og 8. bekk og enginn marktækur munur er á sveigjanleika nemenda í 6. og 8. bekk. Þessar niðurstöður benda til að aðlögunarhæfni og sveigjanleiki aukist ekki með aldri nemenda, þrátt fyrir að forsendur byggi á talna- og hugtakaskilningi sem þróast með reynslu nemenda, ekki síst með þátttöku þeirra í þeirri stærðfræðikennslu sem þau fá í skólanum. Það má því ætla að þær leiðbeiningar sem fram koma í námskránni í stærðfræði nái ekki inn í kennslustofuna og að eldri nemendur nýti sjaldan aðferðir er byggja á talnaskilningi en treysti á hefðbundin reiknirit. 

Þegar litið er nánar á aðferðir nemenda við að leysa einstaka dæmi kemur skýrt fram að notkun hefðbundinna reiknirita er lang mest notaða aðferðin. Við lausn verkefnanna 298 + 483 og 199 + 323 nota 86% nemenda í 8. bekk hefðbundið reiknirit, samanborið við 48% í 3. bekk og 69% í 6. bekk (Jóelsdóttir og Sunde, 2024). Einungis 7% nemenda í 3. bekk, 8% í 6. bekk og 5% í 8. bekk nota aðlögun, þ.e leysa t.d. 199 + 323 með því að hugsa 200 + 323 – 1, eða sambærilegar útfærslur sem nýta að 199 liggur nálægt tölunni 200 og að það er auðveldara að leggja 200 saman við næstu tölu samanborið við töluna 199. Hér vekur sérstaka athygli að  lægsta hlutfall þeirra sem nota aðlögun eru nemendur 8. bekkjar, þar sem hefðbundin reiknirit virðast hafa tekið yfirhöndina, einnig í aðstæðum þar sem möguleiki er á einföldum og hagkvæmum flýtileiðum. 

En skiptir máli hvaða aðferðir nemendur nýta? Til að gefa einhlítt svar við þessari spurningu skortir frekari rannsóknir sem sýna skýrt fram á tengsl aukins sveigjanleika og aðlögunarhæfni við betri stærðfræðihæfni. Það má þó finna nokkrar vísbendingar þegar nánar eru skoðuð tengsl þeirra aðferða sem notaðar eru við annars vegar nákvæmni í svörum (rétt svör) og hins vegar við árangur nemenda t.d. á samræmdum prófum í stærðfræði. Í Jóelsdóttir og Andrews (2023) kemur fram að bæði meiri sveigjanleiki og meiri aðlögunarhæfni eru tengd aukinni nákvæmni, þ.e. að þeir nemendur sem sýna meiri sveigjanleika (geta leyst sama dæmi með fleiri aðferðum) reikna fleiri dæmi rétt og/eða nemendur sem sýna meiri aðlögunarhæfni (nýta oftar flýtileiðir) reikna einnig fleiri dæmi rétt. Til dæmis leystu 75% nemenda í 3. bekk verkefnin 298 + 483 eða 199 + 323 rétt með hefðbundnu reikniriti samanborið við 88% af þeim sem notuðu aðlögun (t.d. 200 + 323 -1). Munurinn er enn skýrari þegar litið er á lausn frádráttardæma þar sem stærri hópur nemenda á öllum aldursstigum sýnir örðugleika við að fá réttar lausnir verkefnanna. Í töflu 3 má sjá hlutfall nemenda sem nýtir hefðbundin reiknirit og aðlögun við lausn dæmanna. Hér kemur fram að notkun aðlögunar er á öllum aldursstigum nákvæmari aðferð miðað við hefðbundin reiknirit.

Tafla 3. Hlutfall nemenda sem leysir verkefnin 693 – 499 eða 673 – 199 með hefðbundnu reikniriti eða með aðlögun og hlutfall réttra lausna fyrir hvora aðferð (Jóelsdóttir og Sunde, 2024).

Hvernig má nýta þessar niðurstöður í þróun stærðfræðikennslu?

Fyrir það fyrsta sýna þessar niðurstöður að þrátt fyrir tilmæli námskrár er takmörkuð áhersla á að nemendur þrói með sér aðferðir sem byggja á talna- og hugtakaskilningi og þrói með sér sveigjanleika og aðlögunarhæfni. Ekki síst er áhugaverð sú niðurstaða að nemendur í 8. bekk noti flýtileiðir, byggðar á talnaskilningi í minna mæli en nemendur 6. bekkjar. Eldri rannsóknir t.d. þýsk rannsókn frá 2001 (Selter, 2001) sýna að nemendur treysta á hefðbundin reiknirit frá þeim degi sem þau eru innleidd í stærðfræðikennsluna, þ.e. að aðrar aðferðir víkja fyrir hefðbundna reikniritinu. Tíminn sem nýttur er í að læra og æfa notkun hefðbundinna reiknirita, fer í að læra utanbókar (oft án frekari skilnings) reikniferli í skrefum sem framkvæma þarf í ákveðinni röð og einungis er unnið með tölustafi, án sætisgilda. Kostir hinna hefðbundnu reiknirita eru tengd því að þau eru eins fyrir allar tölur innan hverrar reikniaðgerðar og veitir það notendum ákveðið öryggi. Það ber þó að nefna að með breyttum tímum og áherslum er aðgengi að reiknivélum orðið svo gott að hlutverk reikniritanna t.d. í daglegu lífi er takmarkað en á sama tíma hefur þörfin á góðum talna- og hugtakaskilningi, ásamt hæfni í lausnamiðuðu ferli aukist. Ókostir þess að nýta tímann í kennslu og þjálfun í notkun reikniritanna er því bæði að lítill tími er til ráðstöfunar til að þjálfa talna- og hugtakaskilning við þróun annarra reikniaðferða og að, eins og fyrri rannsóknir sýna, er erfitt að fá nemendur til að nýta talnaskilning sinn og þróa frekar sveigjanleika og aðlögunarhæfni eftir að reikniritin hafa verið kynnt og æfð. Í þessu samhengi má því hugleiða hvaða hæfni er mikilvægast að nemendur hafi að loknum grunnskóla og því hvernig tíminn er best nýttur til að ná þeim markmiðum sem unnið er eftir.

Að læra hefðbundin reiknirit er það sem margir tengja við skólastærðfræði, það gildir bæði um kennara en ekki síst foreldra. Að breyta grunnhugmyndum um hvað er mikilvægt í stærðfræðikennslunni tekur tíma og mikilvægt er að rannsaka frekar bæði samhengi á milli aukinnar aðlögunarhæfni og sveigjanleika og stærðfræðihæfni og hvernig styðja eigi við þessa þróun í stærðfræðikennslunni. Þetta er verkefni sem þrátt fyrir að hafa verið í umræðunni nú í yfir 20 ár krefst enn frekari athygli á komandi árum.

Heimildaskrá

Baroody, A. J. (2003). The development of adaptive expertise and flexibility: The integration of conceptual and procedural knowledge. In A. J. Baroody og A. Dowker (Eds.), The development of arithmetic concepts and skills. Constructing adaptive expertise (bls. 1-33). Lawrence Erlbaum Associates Publishers. 

Børne- og Undervisningsministeriet. (2019a) Matematik Fælles Mål 2019. https://emu.dk/sites/default/files/2020-09/GSK_F%C3%A6llesM%C3%A5l_Matematik.pdf

Børne- og Undervisningsministeriet. (2019b). Vejledning til folkeskolens prøver i faget matematik – 9. klasse. 

Dowker, A. (2014). Young children’s use of derived fact strategies for addition and subtraction. Frontiers in Human Neuroscience, 7(924), 1-9. https://doi.org/10.3389/fnhum.2013.00924 

Hatano, G., og Inagaki, K. (1984). Two courses of expertise. Research & Clinical Center for Child Development, 82-83, 27–36. 

Hickendorff, M. (2018). Dutch sixth graders’ use of shortcut strategies in solving multidigit arithmetic problems. European Journal of Psychology of Education, 33(4), 577-594. https://doi.org/10.1007/s10212-017-0357-6  

Jóelsdóttir, L. B. (2023). Essays on Adaptivity and Flexibility in Multidigit Arithmetic. Aarhus University. Aarhus. https://pure.au.dk/portal/da/publications/essays-on-adaptivity-and-flexibility-in-multidigit-arithmetic(441b0429-68a7-45e1-ab6f-04dbddacefb6).html

Jóelsdóttir, L. B. og Andrews, P. (2023). Danish third, sixth and eighth grade students’ strategy adaptivity, strategy flexibility and accuracy when solving multidigit arithmetic tasks., Advance online publication. https://doi.org/10.1007/s10212-023-00786-2

Ostad, S. (1997). Developmental differences in addition strategies: A comparison of mathematically disabled and mathematically normal children. British Journal of Educational Psychology and Aging, 67(3), 345 357. https://doi.org/10.1111/j.2044-8279.1997.tb01249.x

Rittle-Johnson, B., Star, J. R., og Durkin, K. (2012). Developing procedural flexibility: are novices prepared to learn from comparing procedures? British Journal of Educational Psychology, 82, 436-455. https://doi.org/10.1111/j.2044-8279.2011.02037.x

Selter, C. (2001). Addition and Subtraction of Three-Digit Numbers German Elementary Children’s success methods and strategies. Educational Studies in Mathematics, 47(2), 145-173. https://doi.org/10.1023/A:1014521221809

Siegler, R. S., og Jenkins, E. (1989). How children discover new strategies. Lawrence Erlbaum Associates, Inc. 

Sunde, P. B., De Smedt, B., Verschaffel, L., og Sunde, P. (2023). Grade one single-digit addition strategies as predictors of grade four achievement in mathematics. European Journal of Psychology of Education, Advance online publication. https://doi.org/10.1007/s10212-023-00761-x

Torbeyns, J., De Smedt, B., Ghesquière, P., og Verschaffel, L. (2009). Acquisition and use of shortcut strategies by traditionally schooled children. Educational Studies in Mathematics, 71(1), 1-17. https://doi.org/10.1007/s10649-008-9155-z

Torbeyns, J., Peters, G., De Smedt, B., Ghesquière, P., og Verschaffel, L. (2018). Subtraction by addition strategy use in children of varying mathematical achievement level: A choice/no-choice study. Journal of Numerical Cognition, 4(1), 215-234. https://doi.org/10.5964/jnc.v4i1.77

Undervisningsministeriet. (2001). Klare Mål – Matematik – Faghæfte 12. Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie del nr. 4 – 2001.

Vanbinst, K., Ghesquière, P., & De Smedt , B. (2014). Arithmetic strategy development and its domain-specific and domain-general cognitive correlates: A longitudinal study in children with persistent mathematical learning difficulties. Research in Developmental Disabilities, 35, 3001–3013. https://doi.org/10.1016/j.ridd.2014.06.023

Verschaffel, L., Greer, B., og De Corte, E. (2007). Whole number concepts and operations. In F. K. Lester Jr (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (bls. 557-628). The National Council of Teachers of Mathematics. 

Verschaffel, L., Luwel, K., Torbeyns, J., og Van Dooren, W. (2009). Conceptualizing, investigating, and enhancing adaptive expertise in elementary mathematics education. European Journal of Psychology of Education, 14(3), 335-359. https://doi.org/10.1007/BF03174765

Xu, L., Liu, R. D., Star, J. R., Wang, J., Liu, Y., og Zhen, R. (2017). Measures of Potential Flexibility and Practical Flexibility in Equation Solving. Front Psychol, 8, 1368. https://doi.org/10.3389/fpsyg.2017.01368