SÖGUHORNIÐ: Keilusnið

Kristín Bjarnadóttir.

Keila er heillandi form. Listamenn hafa glímt við að fanga keilulaga fjöll í málverkum og ljóðum. Eldfjöll, sem gjósa einu sinni þunnfljótandi hrauni sem streymir jafnt niður til allra hliða, geta orðið keilulaga. Eldfjöll með keilulagi nefnast dyngjur.

Mynd 1 sýnir fjallið Skjaldbreiði, nánast fullkomlega keilulaga. Talið er að Skjaldbreiður hafi orðið til við eldgos fyrir um 9000 árum síðan.

---

Rétt keila

---

Keilusnið: Hringur, sporbaugur, fleygbogi og breiðbogi

Mynd 3: Frá vinstri: (1) fleygbogi, (2) hringur, (3) sporbaugur, (4) breiðbogi

Mynd 3 sýnir hvernig fagurlega myndaðir skurðferlar koma fram þegar keila er skorin lárétt, lóðrétt eða á ská. Sé skorið lárétt hornrétt á ás keilu verður skurðferillinn hringur (Mynd 3 (2)).

Sé ekki skorið hornrétt á ásinn koma fram aðrir ferlar. Ef halli skurðflatarins er minni en hliðarhalli keilunnar verður brún skurðflatarins eins konar teygður hringur, sporbaugur (Mynd 3 (3)).

Ef halli skurðflatarins er samsíða hlið keilunnar, verður brún skurðflatarins bogadreginn ferill sem lokast ekki, heldur víkkar eftir því sem lengra er skorið. Ferillinn nefnist fleygbogi (Mynd 3 (1)).

Sé keilan skorin þannig að skurðflöturinn verði samsíða ás keilunnar, verður skurðferillinn enn víðari en á fleygboga. Ferillinn nefnist breiðbogi (Mynd 3 (4)). Venjulega er fjallað um breiðboga sem tvo aðskilda ferla. Þá er keila framlengd með annarri keilu sem er speglun hennar í sléttu í gegnum oddpunkt keilanna, hornréttri á ása þeirra.

---

Heiti keilusniðanna

Ferlarnir sem hér hafa verið nefndir, hringur, sporbaugur, fleygbogi og breiðbogi, hafa verið viðföng stærðfræðinga frá fornöld, allt frá tímum Forn-Grikkja á fjórðu öld fyrir Krist. Stærðfræðingnum Menaechmus er eignaður heiðurinn af því að hafa uppgötvað keilusnið um 360-350 f.Kr. Heiti keilusniða á öðrum evrópskum tungumálum eru rakin til forngrísku:

Íslenska	Danska	Enska	Þýska	Franska
hringur	cirkel	circle	Ring	cercle
sporbaugur	ellipse	ellipse	Ellipse	ellipse
fleygbogi	parabel	parabola	Parabel	parabole
breiðbogi	hyperbel	hyperbola	Hyperbel	hyperbole

Heiti keilusniða eru mjög sértæk orð og koma sjaldan fyrir utan stærðfræði, eðlisfræði og stjörnufræði. Hvað varð til þess að ferlarnir hlutu ný óskyld heiti á íslensku?

Árið 1842 kom út íslensk þýðing á bókinni Astronomi eftir danska prófessorinn Georg Frederik Ursin (1830), undir heitinu Stjörnufræði, ljett og handa alþíðu. Þýðandinn var Jónas Hallgrímsson, skáld og náttúrufræðingur. Þýðingar Jónasar á heitum keilusniðanna eru hljómfögur orð. Ein ástæða þess að hann valdi að þýða orðin gæti verið sú að áhersla er sjaldnast á fyrsta atkvæði í erlendu orðunum. Orðin ellipsa, parabóla og hyperbóla hafa þó oft verið notuð sem tökuorð í íslensku enda voru kennslubækur í stærðfræði í framhaldsskólum gjarnan á norðurlandamálum langt fram á tuttugustu öld. Þegar farið var að þýða og semja kennslubækur á íslensku um þessi efni, voru heiti Jónasar tekin upp í kennslubókunum.

---

Keilusnið og himinhnettirnir

Hvaða erindi eiga þessir ferlar í bók um stjörnufræði? Allt frá fornöld glímdu menn við að átta sig á gangi himintunglanna. Lengi var talið að allir himinhnettir, s.s. sól, tungl, reikistjörnurnar Venus, Mars og Júpíter ásamt fastastjörnunum, snerust um jörðina. Það nefndist jarðmiðjukenning. Samkvæmt henni virtust brautir hnattanna afar flóknar, en þekking á þeim nýttist þó til að segja fyrir um gang hnattanna og hvar og hvenær þeirra væri von. Á sextándu öld hlaut sólmiðjukenningin um að sólin væri miðja sólkerfisins vaxandi fylgi fyrir verk þeirra Kóperníkusar (1473–1543), Keplers (1571–1630) og Galileos Galilei (1564–1642), og brautir hnattanna einfölduðust til muna.

Fyrst var talið að jörðin gengi í hring í kringum um sólu, en síðar var sýnt fram á að braut jarðarinnar væri sporbaugur og sólin væri í öðrum brennipunkti hans. Sama máli gegnir um aðrar reikistjörnur. Brautir reikistjarnanna eins og jarðarinnar verða til fyrir aðdráttaraflið. Milli jarðar og sólar er gagnkvæmt aðdráttarafl sem heldur litlum massa jarðarinnar og hinna reikistjarnanna á ferð eftir sporbaugum umhverfis stóran massa sólarinnar.

---

Hnitakerfið

Kartesískt hnitakerfi hefur reynst heppilegur rammi til að setja keilusniðsferlana skilmerkilega fram. Orðið „kartesískt“ vísar til heimspekingsins og stærðfræðingsins René Descartes (1596–1650) sem talinn er upphafsmaður tvívíðs rétthyrnds hnitakerfis. Sérhver punktur í sléttunni er settur fram með tveimur tölum, hnitum. Tölurnar tákna annars vegar fjarlægð frá lóðréttri talnalínu, en hins vegar frá láréttri talnalínu. Með því að færa rúmfræði inn í hnitakerfi varð unnt að tengja saman algebru og rúmfræði og setja rúmfræðileg fyrirbrigði fram með algebru.

---

Hringur

---

Sporbaugur

---

Breiðbogi

Eiginleiki breiðboga er að nálgast beinar línur, sem nefnast aðfellur (e. asymtotes), æ meir eftir því sem fjær dregur oddpunktum breiðbogans. Jöfnur aðfellanna eru 

---

Fleygbogi

---

Algebra keilusniða

Þegar grannt er skoðað eru líkindi með jöfnum allra keilusniðanna. Önnur hvor breytan x eða y eða báðar koma alltaf fyrir í öðru veldi. Almennt gildir jafnan:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

fyrir öll keilusniðin ef stuðlarnir a, b, og c eru ekki allir núll samtímis.

---

Brennipunktur, stýrilína og hringvik

Keilusniðin sporbaugur, fleygbogi og breiðbogi hafa brennipunkt (e. focus), einn eða tvo, og stýrilínu (e. directrix). Hringvik, (e. excentricity) er hlutfall fjarlægðar punkts á keilusniði frá brennipunkti keilusniðsins og fjarlægðar hans frá stýrilínunni.

---

Fleygbogi

---

Sporbaugur

---

Breiðbogi

---

Hringvik

---

Ýmsir eiginleikar keilusniða

Brautir margra himinhnatta eru sporbaugar utan um aðra þyngri hnetti sem eru í öðrum brennipunkti sporbaugsins.

Ferlar sumra halastjarna eru breiðbogar.

Kastferlar hluta í þyngdarsviði eru fleygbogar ef horft er framhjá loftmótstöðu.

---

Flatarmál flata innan keilusniða

Hringur

Flatarmál hrings er F = πr²

Sporaskja

Flöturinn innan sporbaugs nefnist sporaskja. Flatarmál sporöskju er F = πab.

Aðrir ferlar eru opnir. Hægt er að reikna flatarmál svæða sem afmarkast af fleygboga og beinni línu eða breiðboga og annars ferils.

---

Æfing

Festið spotta með teiknibólum í báða enda á spjald þannig að slaki sé á spottanum. Takið blýant og spennið spottann og rennið síðan blýantinum eins langt og komist verður báðum megin við tengilínu teiknibólanna. Samkvæmt Mynd 10 ætti að koma fram sporbaugur.  

---