Kristín Bjarnadóttir.
Arkímedes hefur verið talinn mesti stærðfræðingur fornaldar, eða jafnvel allra tíma. Hann fæddist í borginni Sýrakúsu á Sikiley árið 287 f. Kr. Hann mun hafa stundað nám í Alexandríu í Egyptalandi, en snúið aftur til Sýrakúsu þar sem hann lést árið 212 f. Kr. Á tímum Arkímedesar voru háðar styrjaldir milli Rómverja, sem bjuggu á miðjum Ítalíuskaganum, og Púnverja, sem bjuggu sunnan við Miðjarðarhaf í borginni Karþagó, nú í Túnis. Sikiley, syðsta ey Ítalíu, var miðja vegu milli þessara borgríkja og stríðsaðilar börðust meðal annars um yfirráð yfir henni í þremur styrjöldum sem nefnd voru púnversku stríðin.
Síðvetrar árið 2023 settist pistilritari að í Sýrakúsu. Erindið var að njóta hálkulausrar útivistar og að kynnast Arkímedesi betur. Fyrstu kynnin við Arkímedes höfðu raunar verið við lögmál hans, Arkímedesarlögmálið um uppdrif í vökva. Lögmál Arkímedesar var kennt í eðlisfræði til landsprófs á árunum 1946–1976. Fyrsta skrefið var að skilja hvað orðið „uppdrif“ þýddi. Uppdrif merkir að hlutur sem liggur í vökva léttist jafnmikið og vökvinn vegur sem hluturinn ryður frá sér.
Uppdrif í vökva
Þegar þyngd hlutar er jöfn þyngd vökvans sem hann ryður frá sér, þá marar hluturinn í kafi. Hlutur fer að fljóta þegar hann er léttari en vökvi með sama rúmtak. Lögmálið er undirstaða skipasiglinga. Það eru mikilvæg fræði að finna út hve miklu má stafla á skip svo að það fljóti tryggilega en sökkvi ekki. Það er fremur einfalt ef skipið er bundið í höfn, en á höfum úti þarf að gera ráð fyrir að skipið velti og taki jafnvel á sig sjó.
Lögmál Arkímedesar má einnig nota til að kanna hvort málmur er falsaður. Fræg er sagan af Híeró II konungi Sýrakúsu sem ríkti þar á árunum 275–215 f. Kr. (Konungsríkin voru smá í þá daga). Konungur afhenti gullsmiði gull til að smíða úr því kórónu fyrir sig. Konung grunaði að gullið hafi verið blandað silfri og kallaði á Arkímedes sér til hjálpar.
Arkímedes tók mola af silfri og annan af gulli sem báðir vógu jafnmikið og kórónan. Hann sökkti hvorum mola ásamt kórónunni í fleytifullt kar af vatni og mældi hve mikið vatn flyti út af fyrir hvern grip. Silfur er léttara en gull, og silfurmolinn ruddi meira vatni frá sér en gullmolinn. Og kórónan skilaði meira vatni en gullmolinn. Af þessu ályktaði Arkímedes að málmurinn í kórónunni væri svikinn, gullið hafi verið blandað silfri. Sagan segir að Arkímedes hafi hlaupið út á götu þegar hann fékk þessa hugmynd eftir að hafa stigið ofan í bað, og hrópað „Eureka, eureka!“, „Ég hef fundið það, ég hef fundið það!“
Dæmið um kórónu Híerós konungs hefur gengið aftur í kennslubókum öldum saman. Algebra eftir Ólaf Daníelsson var líka lesin til landsprófs um miðja síðustu öld. Þar er þetta dæmi að finna:
Gullkóróna Híerós konungs í Sýrakúsu vó 20 „mínur“, en var blönduð silfri. Arkímedes fann, að þegar hann vó hana í vatni, léttist hún um 1/10 af þyngd sinni. Hve mikið var af hvorum málmanna í kórónunni? Gull léttist um 1/20, þegar það er vegið í vatni, en silfur um 1/10.
Pí – hlutfall ummáls og þvermáls hrings
Uppdrif í vökva var engan veginn meginviðfangsefni Arkímedesar. Hann reiknaði til dæmis út hlutfallið pí, π, milli ummáls og þvermáls hrings með meiri nákvæmni en áður hafði þekkst.
Talan π er stundum nefnd fasti Arkímedesar. Arkímedes notaði nálgunaraðferð til þess að finna gildi π. Hann reiknaði ummál reglulegra marghyrninga með æ fleiri hornum þannig að lögun þeirra nálgaðist hring æ meir. Aðferðinni var beitt í yfir 1000 ár.
Arkímedes reiknaði efri og neðri mörk π með því að reikna ummál reglulegra sexhyrninga innan í og utan um hring og tvöfalda síðan fjölda hliðanna þar til hliðarnar voru orðnar 96. Arkímedes sýndi fram á að gildi π lægi á bili milli tveggja brota: 223/71 < π < 22/7. Tugabrot voru þá ekki komin til sögunnar en þetta jafngildir að π sé á bilinu 3,1408 < π < 3,1429. Þá eru þrír tölustafir réttir. Fyrstu fimm réttir aukastafir eru 3,14159, en brotið 22/7 var gjarnan notað í kennslubókum fram að öld vasareikna.
líkans af pí í Sýrakúsu.
Um árið 480 e. Kr. náði kínverski stærðfræðingurinn Zu Chongzhi sjö réttum tölustöfum með 12.288-hliða marghyrningum. Það var nákvæmasta gildið á π sem þekkt var næstu 800 árin.
Árið 1699 náðist 71 tölustafur með óendanlegum röðum. Hraðvirk reiknirit komu fram árið 1914 þegar indverski stærðfræðingurinn Srinivasa Ramanujan birti tugi af nýjum formúlum fyrir π. Þær voru aðdáunarverðar fyrir glæsileika, stærðfræðilega dýpt og hraða samleitni. Síðan hafa orðið til formúlur þar sem fjöldi tölustafa skiptir billjónum.
Fleiri sígildar stærðfræðireglur
Arkímedes fann fleiri sígildar stærðfræðireglur. Hann sýndi til dæmis fram á að rúmmál kúlu væri 2/3 hlutar af rúmmáli sívalnings með sama þvermál og sömu hæð. Sömuleiðis er rúmmál keilu með sama þvermál og sömu hæð og sívalningurinn einn þriðji af rúmmáli sívalningsins. Með öðrum orðum eru rúmmálshlutföll
keilu, kúlu og sívalnings
1 : 2 : 3
Ef hæð keilu og sívalnings er 2r eins og kúlunnar þá er
rúmmál keilu: 2/3 𝜋𝑟3, rúmmál kúlu: 4/3 𝜋𝑟3, rúmmál sívalnings: 6/3 𝜋𝑟3
Eftir Arkímedes eru varðveitt ýmis rit um stærðfræði, meðal annarra rit um keilur og kúlur. Ritið Talning sandkorna segir frá sólmiðjukenningu Aristarkosar frá Samos og mun það vera ein besta heimildin fyrir sólmiðjukenningunni. Þar kemur fram að Arkímedes miðar við að heimurinn sé kúla – hvelfing fastastjarnanna – sem hann áleit hafa tíuþúsundfalt þvermál jarðar. Síðan taldi hann hve mörg sandkorn þyrfti til að fylla þann heim upp.
Vélar og hagnýt tæki
Arkímedes gat sér mikið frægðarorð – og vakti ótta óvinanna – fyrir vígvélar sem hann fann upp til að granda óvinunum. Margar þeirra byggðu á vogarstangarreglunni, meðal annarra voru kranar sem lyftu þungu fargi, jafnvel heilum skipum. Samkvæmt vogarstangarreglunni getur lítill kraftur á löngum armi jafnast á við stóran kraft á stuttum armi. Fræg eru ummæli Arkímedesar: „Ljáið mér fastan punkt til að standa á og þá skal ég hreyfa jörðina.“
Hann fann líka upp hagnýt tæki. Einna frægust uppfinning Arkímedesar er skrúfan sem kennd er við hann og var notuð til að dæla upp vatni.
Skýringarmynd af skrúfu Arkimedesar.
Dauði Arkímedesar
Andlát Arkímedesar bar að með sögulegum hætti í annarri púnversku styrjöldinni. Sagan segir að hann hafi setið í fjörunni við Sýrakúsu og teiknað hringa í sandinn er rómverskan hermann bar að. Hann skipaði Arkimedesi að fylgja sér til rómverska hershöfðingjans Marcellusar sem hafði mælt fyrir um að Arkímedesi skyldi hlíft. „Ekki rugla hringunum mínum“ er haft eftir Arkímedesi. En hermaðurinn brá þá brandi og hjó hann. Sagt er að ekkert hafi Marcellus tekið jafn nærri sér og dauða Arkímedesar.
Heimildir og ítarefni:
Geir Þ. Þórarinsson. (2011, 22. desember). Hver var Arkímedes og hvert var hans framlag til vísindanna? Vísindavefurinn. http://visindavefur.is/svar.php?id=61534.
Giovanni di Pasquale (2018). Archimedes in Syracuse. Giunti Editore S.p.A.
Guðmundur Arnlaugsson (1991). Gullöld grískrar stærðfræði. Í Sigurður A. Magnússon, Kristján Árnason, Þorsteinn Þorsteinsson og Guðmundur J. Guðmundsson (ritstjórar), Grikkland ár og síð (bls. 135–58). Hið íslenzka bókmenntafélag.
Jón Þorvarðarson (2005). Og ég skal hreyfa jörðina. STÆ ehf.
Kristín Bjarnadóttir. (2020, 25. nóvember). Hvaða aðferðum er beitt til að finna aukastafi pí? Vísindavefurinn. http://visindavefur.is/svar.php?id=71214.
Ólafur Daníelsson (1951). Kennslubók í algebru. Ísafoldarprentsmiðja.
Kristín Bjarnadóttir prófessor emerita við Háskóla Íslands